1.基礎下列敘述何者正確？
測驗重點：質數的判斷
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正確答案：(D) 2 是唯一的偶質數
2 的因數只有 1 和 2，是質數；其他偶數都有因數 2，必為合數，故 2 是唯一偶質數 ✓。(A) 1 只有一個因數，既不是質數也不是合數；(B) 2 是偶數也是質數；(C) $91 = 7 \times 13$ 是合數——91、87、51 這類「看起來像質數的合數」是判斷題的經典陷阱。
內容概述
質數是「只有 1 和自己兩個因數」的數（最小質數是 2，也是唯一的偶質數）。任何大於 1 的整數都能唯一分解成質因數的乘積（標準分解式）。最大公因數 (gcd) 取「共同質因數的最低次方」，最小公倍數 (lcm) 取「所有質因數的最高次方」。
學習重點
- 1質數判斷：2, 3, 5, 7, 11, 13...；1 不是質數也不是合數
- 2標準分解式：如 $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$
- 3最大公因數：共同質因數取最低次方；互質 = gcd 為 1
- 4最小公倍數：所有質因數取最高次方
- 5重要關係：$\gcd(a,b) \times \mathrm{lcm}(a,b) = a \times b$
國中教育會考出題趨勢：會考最愛「情境應用題」：分裝物品求最大公因數（每包最多裝幾個）、週期重逢求最小公倍數（幾天後同時發車）。判斷「該用 gcd 還是 lcm」是解題關鍵——分割用 gcd、重逢用 lcm。
108 課綱對應
- 課綱N-7-1 100 以內的質數
- 課綱N-7-2 質因數分解的標準分解式
進階探究・深度解析
「gcd × lcm = 兩數乘積」只對「兩個數」成立，三個數以上不適用——這是進階題常設的陷阱。例如 gcd(4,6)=2、lcm(4,6)=12，2×12=24=4×6 ✓；但 gcd(2,4,6)=2、lcm(2,4,6)=12，2×12=24 ≠ 2×4×6=48。
因數個數公式：若 $n = p^a \times q^b$（p、q 為相異質數），則 n 的正因數個數為 $(a+1)(b+1)$。例：$360=2^3\times3^2\times5^1$ 有 $4\times3\times2=24$ 個正因數。此公式是會考進階題與資優題的常客。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等已知 $A = 2^3 \times 3^2 \times 5$，$B = 2^2 \times 3^3 \times 7$，求 A 與 B 的最大公因數。
測驗重點：標準分解式與最大公因數
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正確答案：(B) $2^2 \times 3^2$
最大公因數取「共同質因數的最低次方」：2 的次方取 $\min(3,2)=2$、3 的次方取 $\min(2,3)=2$；5 和 7 不是共同因數，不取。故 $\gcd = 2^2 \times 3^2 = 36$。(D) 是最小公倍數的取法（最高次方＋全部質因數），兩者規則相反，最容易混淆。
3.中等老師有 48 顆糖果和 60 塊餅乾，要平分裝袋且每袋內容相同、不能有剩。最多可以裝成幾袋？
測驗重點：gcd 情境應用（分裝問題）
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正確答案：(B) 12 袋
「平分且不剩、求最多袋數」→ 求最大公因數。$48 = 2^4 \times 3$，$60 = 2^2 \times 3 \times 5$，$\gcd = 2^2 \times 3 = 12$。判斷口訣：把東西「分割、分裝」用 gcd；等「週期重逢」用 lcm。每袋內容：糖果 $48\div12=4$ 顆、餅乾 $60\div12=5$ 塊。
4.進階甲、乙兩路公車同時從總站發車，甲每 12 分鐘一班，乙每 18 分鐘一班。兩車下次「同時發車」是幾分鐘後？
測驗重點：lcm 情境應用（週期問題）
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正確答案：(C) 36 分鐘
「週期重逢」→ 求最小公倍數。$12 = 2^2 \times 3$，$18 = 2 \times 3^2$，$\mathrm{lcm} = 2^2 \times 3^2 = 36$。(B) 6 是 gcd（用錯方向的誘答）；(D) 72 是 $12\times18\div3$ 的計算錯誤。此外注意 $\gcd\times\mathrm{lcm} = 6 \times 36 = 216 = 12 \times 18$ ✓，可用此關係驗算。