國中教育會考 第1冊・七年級上學期 數與量

正負數與絕對值

整數的運算與數線

內容概述

負數用來表示「相反意義的量」：零下溫度、海平面以下、虧損。數線上，右邊的數永遠比左邊大；絕對值 $|a|$ 表示 a 與原點的距離，永遠不為負。整數四則運算的核心是「同號相加、異號相減，符號跟大的走」與「負負得正」。

學習重點

  1. 1數線三要素：原點、方向、單位長；右邊的數 > 左邊的數
  2. 2絕對值 $|a|$ = a 到原點的距離；$|-5|=5$、$|3|=3$
  3. 3加減法：同號相加取原號，異號相減取絕對值大者的符號
  4. 4乘除法：同號得正、異號得負；負數的偶數次方為正、奇數次方為負
  5. 5四則混合運算順序：先乘方 → 再乘除 → 後加減，括號優先

國中教育會考出題趨勢：會考常以「氣溫變化、樓層升降、收支」等生活情境包裝負數運算，並愛考 $-3^2$ 與 $(-3)^2$ 的區別（前者 $=-9$、後者 $=9$），是七年級最經典的陷阱。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

$-3^2 = -9$ 與 $(-3)^2 = 9$ 的差異在「次方只作用於緊鄰的數」：$-3^2$ 是「3 的平方再取負號」，$(-3)^2$ 是「負 3 整個平方」。會考選擇題在選項中同時放 9 與 -9，就是在考這個觀念。

絕對值方程式的雙解概念：$|x|=5$ 的解是 $x=5$ 或 $x=-5$（距離原點 5 的點有兩個）。往後八年級的平方根 $x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5$ 也是同樣的「雙解思維」，此觀念是國中代數的重要基石。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎某日清晨玉山氣溫為 $-5^\circ C$，中午上升了 $8^\circ C$，傍晚又下降了 $6^\circ C$。傍晚的氣溫是多少？

測驗重點：負數的生活情境與數線大小比較

  1. (A) $-3^\circ C$
  2. (B) $-2^\circ C$
  3. (C) $3^\circ C$
  4. (D) $-7^\circ C$
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正確答案：(A) $-3^\circ C$

列式：$-5 + 8 - 6$。先算 $-5 + 8 = 3$（異號相減，取絕對值大者 8 的正號），再算 $3 - 6 = -3$。氣溫變化題是負數運算最常見的情境包裝，按「發生順序」逐步計算即可，不要跳步。

2.中等下列計算結果，何者正確？

測驗重點：$-a^2$ 與 $(-a)^2$ 的區別

  1. (A) $-2^4 = 16$
  2. (B) $(-2)^4 = 16$
  3. (C) $(-2)^3 = 8$
  4. (D) $-2^3 = 8$
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正確答案：(B) $(-2)^4 = 16$

$(-2)^4$ 是「負 2 連乘 4 次」：負數的偶數次方為正，$=16$ ✓。(A) $-2^4$ 次方只作用於 2，$= -(2^4) = -16$；(C) $(-2)^3$ 負數奇數次方為負，$=-8$；(D) $-2^3 = -(2^3) = -8$。「次方是否包含負號」由括號決定，是七上最重要的觀念題。

3.中等設 $a = -4$，求 $|a - 3| + |a + 1|$ 的值。

測驗重點：絕對值的意義與運算

  1. (A) 4
  2. (B) 10
  3. (C) 6
  4. (D) 8
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正確答案：(B) 10

代入 $a = -4$：$|a-3| = |-4-3| = |-7| = 7$；$|a+1| = |-4+1| = |-3| = 3$。所以 $7 + 3 = 10$。要領：先把絕對值「裡面」完整算出來，再取絕對值——不能先把絕對值符號直接拿掉。

4.進階計算 $(-3)^2 - 12 \div (-2) \times 3 + (-5)$ 的值。

測驗重點：四則混合運算與運算順序

  1. (A) $-8$
  2. (B) $2$
  3. (C) $22$
  4. (D) $16$
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正確答案：(C) $22$

運算順序：先乘方 $(-3)^2 = 9$；再乘除（由左而右）$12 \div (-2) = -6$，$-6 \times 3 = -18$；最後加減：$9 - (-18) + (-5) = 9 + 18 - 5 = 22$。最大陷阱在「減負得加」：$-(-18)$ 要變成 $+18$。乘除必須由左而右依序算，不能先算 $(-2)\times3$。