國中教育會考 第1冊・七年級上學期 代數

一元一次方程式

等量公理與應用問題

內容概述

方程式是「含未知數的等式」，解方程式的根本原理是等量公理：等號兩邊同加、同減、同乘、同除（除數不為 0）一個數，等式仍成立。移項變號是等量公理的速記法。應用題的核心步驟：設未知數 → 列式 → 解方程 → 驗算作答。

學習重點

  1. 1等量公理：兩邊同時 +、-、×、÷（≠0）等式不變
  2. 2移項變號：$x + 3 = 7 \Rightarrow x = 7 - 3$（+3 移過去變 -3）
  3. 3去分母：兩邊同乘分母的最小公倍數，每一項都要乘到
  4. 4去括號注意分配律：$-2(x-3) = -2x + 6$（負號要分配給每一項）
  5. 5應用題步驟：設 x → 依題意列式 → 解 → 檢驗是否合理（人數不能是小數）

國中教育會考出題趨勢：會考應用題常考「年齡問題、購物找零、雞兔同籠變形」。列式能力比解方程重要——先用中文寫出等量關係（例：哥哥的錢 = 弟弟的錢 × 2 + 30），再翻譯成方程式，錯誤率會大幅下降。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

去分母的常見錯誤：解 $\frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3}$ 時兩邊同乘 6，「整數項 1 也要乘 6」變成 $3x + 6 = 2x$——漏乘整數項是此類題最高頻的失分點，會考選項常刻意放「漏乘版」的錯誤答案誘答。

「解的檢驗」在應用題中有實質意義：解出 x = 7.5 但題目問「幾個人」時，必須回頭檢查列式是否錯誤，而不是硬寫 7.5 人。會考近年強調「數學建模的合理性判斷」，答案的現實合理性本身就是考點。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎解方程式 $3x - 7 = 2x + 5$，則 $x = $？

測驗重點：等量公理與移項

  1. (A) 12
  2. (B) 2
  3. (C) $-2$
  4. (D) $-12$
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正確答案：(A) 12

移項：含 x 的項移左邊、常數移右邊。$3x - 2x = 5 + 7$，得 $x = 12$。移項變號的原理是等量公理：兩邊同減 $2x$、同加 7。驗算：左邊 $3(12)-7=29$，右邊 $2(12)+5=29$ ✓。

2.中等解方程式 $\dfrac{x}{3} + 2 = \dfrac{x}{2}$，則 $x = $？

測驗重點：去分母（含整數項）

  1. (A) 6
  2. (B) 12
  3. (C) 4
  4. (D) $-12$
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正確答案：(B) 12

兩邊同乘分母的最小公倍數 6：$6 \times \frac{x}{3} + 6 \times 2 = 6 \times \frac{x}{2}$，得 $2x + 12 = 3x$，所以 $x = 12$。關鍵：整數項 2 也要乘 6！漏乘會得到 $2x+2=3x \Rightarrow x=2$——這正是誘答選項的來源。去分母時「每一項都要乘到」。

3.中等解方程式 $5(x - 2) - 3(x + 4) = 0$，則 $x = $？

測驗重點：去括號與分配律

  1. (A) $-1$
  2. (B) 11
  3. (C) 1
  4. (D) $-11$
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正確答案：(B) 11

去括號注意負號分配：$5x - 10 - 3x - 12 = 0$（$-3$ 要分配給 $+4$ 變 $-12$），合併得 $2x - 22 = 0$，$x = 11$。最常見錯誤是 $-3(x+4)$ 寫成 $-3x + 12$（負號沒分配到第二項），會解出 $x=-1$，正是選項 (A) 的誘答設計。

4.進階小美買了若干枝 15 元的原子筆與 8 枝 10 元的鉛筆，共花 200 元。她買了幾枝原子筆？

測驗重點：應用問題：列式與合理性

  1. (A) 10 枝
  2. (B) 8 枝
  3. (C) 6 枝
  4. (D) 12 枝
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正確答案：(B) 8 枝

設原子筆 x 枝，列式：$15x + 10 \times 8 = 200$，即 $15x + 80 = 200$，$15x = 120$，$x = 8$。應用題步驟：①設未知數（要寫單位）②用「總價 = 單價×數量之和」列等量關係 ③解方程 ④驗算：$15\times8 + 80 = 200$ ✓ 且枝數為正整數，合理。