國中教育會考 第2冊・七年級下學期 代數

一元一次不等式

不等式的解法與數線圖示

內容概述

不等式表示「大小關係」而非相等。解法與方程式幾乎相同，唯一的重大差異：兩邊同乘或同除「負數」時，不等號方向要改變。解通常是一段範圍，用數線表示：實心點表示包含（≥、≤），空心點表示不包含（>、<）。

學習重點

  1. 1兩邊同加減任何數，不等號方向不變
  2. 2兩邊同乘除「正數」方向不變；同乘除「負數」方向改變（最重要！）
  3. 3數線圖示：$x \geq 2$ 在 2 畫實心點向右；$x < 2$ 在 2 畫空心點向左
  4. 4「至少、不少於」→ ≥；「至多、不超過」→ ≤；「超過」→ >
  5. 5應用題求整數解：解出範圍後找出範圍內的整數

國中教育會考出題趨勢：會考必考「同除負數要變號」：解 $-2x > 6$ 得 $x < -3$（不是 $x > -3$）。應用題以「預算內最多買幾個、成績至少要幾分」為主，注意答案通常要取整數。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

「變號」的原因可從數線理解：$2 < 3$ 兩邊同乘 $-1$ 得 $-2$ 與 $-3$，在數線上 $-2$ 反而在 $-3$ 右邊，所以 $-2 > -3$——乘負數等於把整個數線左右翻轉，大小關係自然顛倒。理解原理比死背規則可靠。

整數解的邊界處理：解出 $x > 3.2$ 且問「最小整數解」，答案是 4；但若是 $x \geq 3$ 則最小整數解是 3。「邊界值取不取得到」由等號決定，應用題失分多半出在這一步。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎解不等式 $2x - 5 < 7$，其解為？

測驗重點：基本解法與數線表示

  1. (A) $x < 6$
  2. (B) $x > 6$
  3. (C) $x < 1$
  4. (D) $x > 1$
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正確答案：(A) $x < 6$

移項：$2x < 12$，兩邊同除以正數 2（方向不變），得 $x < 6$。同除「正數」不變號，這題沒有陷阱，是基本功。數線表示：在 6 畫空心圓點，往左畫箭頭。

2.中等解不等式 $-3x + 4 \geq 13$，其解為？

測驗重點：同除負數要變號

  1. (A) $x \geq -3$
  2. (B) $x \leq -3$
  3. (C) $x \geq 3$
  4. (D) $x \leq 3$
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正確答案：(B) $x \leq -3$

移項：$-3x \geq 9$，兩邊同除以 $-3$——除以負數，不等號方向改變：$x \leq -3$。「變號」是不等式的唯一大陷阱，(A) 就是忘記變號的結果。避免出錯的另一招：把 $-3x$ 移到右邊變 $0 \geq 9 + 3x - 4$… 保持係數為正再解。

3.中等小杰有 500 元，想買一本 120 元的筆記本和若干枝 45 元的鋼珠筆。他最多能買幾枝鋼珠筆？

測驗重點：應用題：預算問題

  1. (A) 9 枝
  2. (B) 8 枝
  3. (C) 7 枝
  4. (D) 10 枝
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正確答案：(B) 8 枝

設買 x 枝：$120 + 45x \leq 500$，$45x \leq 380$，$x \leq 8.44...$。枝數為整數，最多 8 枝。應用題兩步驟：①「不超過預算」用 ≤ 列式 ②解出範圍後取「範圍內的最大整數」。(A) 9 枝要 $120+405=525 > 500$，超出預算。

4.進階不等式 $-2 < \dfrac{x-1}{3} \leq 2$ 的整數解共有幾個？

測驗重點：整數解的個數

  1. (A) 10 個
  2. (B) 11 個
  3. (C) 12 個
  4. (D) 13 個
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正確答案：(C) 12 個

全式同乘 3：$-6 < x - 1 \leq 6$，同加 1：$-5 < x \leq 7$。整數解為 $-4, -3, ..., 7$，共 $7 - (-4) + 1 = 12$ 個。兩個易錯點：①左端 $-5$ 取不到（嚴格不等），最小整數是 $-4$ ②個數公式「大 − 小 + 1」。逐一列出檢查最保險。