國中教育會考 第2冊・七年級下學期 數與量

比與比例式

正比與反比

內容概述

比 $a:b$ 表示兩量的倍數關係，比值為 $\frac{a}{b}$。比例式 $a:b = c:d$ 的核心性質是「內項乘積 = 外項乘積」（$ad = bc$）。正比：$y = kx$（x 變 2 倍 y 也變 2 倍）；反比：$xy = k$（x 變 2 倍 y 變一半）。

學習重點

  1. 1比的性質：前後項同乘除一數（≠0），比值不變；化簡比用 gcd
  2. 2比例式 $a:b=c:d \Leftrightarrow ad = bc$（外項積 = 內項積）
  3. 3連比：$a:b=2:3$、$b:c=4:5$ → 把 b 化成 lcm(3,4)=12 → $a:b:c=8:12:15$
  4. 4正比 $y=kx$：圖形是過原點的直線；「單價固定，總價與數量成正比」
  5. 5反比 $xy=k$：「面積固定，長與寬成反比」；圖形是雙曲線

國中教育會考出題趨勢：會考愛考「連比整合」（兩兩比合併成三連比）與「正反比判斷」的生活情境題。判斷正反比的口訣：兩量相除為定值 → 正比；兩量相乘為定值 → 反比。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

「既非正比也非反比」的辨識：$y = 2x + 1$ 中 y 與 x 的比值 $\frac{y}{x}$ 不固定、乘積也不固定，所以兩者皆非——有截距的直線不是正比關係。會考判斷題常放此類選項考觀念精確度。

比例分配的實務應用：甲乙丙按 $2:3:5$ 分 3000 元，各得 $3000\times\frac{2}{10}$、$3000\times\frac{3}{10}$、$3000\times\frac{5}{10}$。「先求總份數再算每份」的流程也適用於化學溶液、地圖比例尺等跨科情境。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎若 $x : 12 = 3 : 4$，則 $x = $？

測驗重點：比例式求未知數

  1. (A) 9
  2. (B) 16
  3. (C) 36
  4. (D) 1
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正確答案：(A) 9

外項積 = 內項積：$4x = 12 \times 3 = 36$，得 $x = 9$。也可以觀察後項 $12 = 4 \times 3$，所以前項 $x = 3 \times 3 = 9$。兩種方法都要會，觀察倍數關係常比交叉相乘更快。

2.中等已知 $a : b = 2 : 3$，$b : c = 6 : 5$，求 $a : b : c$。

測驗重點：連比

  1. (A) $2:3:5$
  2. (B) $4:6:5$
  3. (C) $2:6:5$
  4. (D) $12:18:15$
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正確答案：(B) $4:6:5$

b 在兩個比中分別是 3 和 6，取 $\mathrm{lcm}(3,6)=6$：第一個比同乘 2 得 $a:b = 4:6$，第二個比不變 $b:c = 6:5$，合併得 $a:b:c = 4:6:5$。(D) $12:18:15$ 雖然比值相同但未化簡，慣例上取最簡整數比。

3.中等下列哪一種情境中，兩個量成「反比」？

測驗重點：正比與反比的判斷

  1. (A) 單價固定時，總價與購買數量
  2. (B) 速率固定時，路程與時間
  3. (C) 路程固定時，速率與所需時間
  4. (D) 邊長與正方形的周長
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正確答案：(C) 路程固定時，速率與所需時間

路程固定：速率 × 時間 = 路程（定值），兩量乘積固定 → 反比（車速越快，時間越短）。(A)(B)(D) 都是「相除為定值」的正比關係。判斷口訣：相乘固定 → 反比；相除固定 → 正比。

4.進階甲、乙、丙三人出資比為 $3 : 4 : 5$，共同投資獲利 60000 元，按出資比例分配。丙比甲多分得多少元？

測驗重點：比例分配應用

  1. (A) 5000 元
  2. (B) 10000 元
  3. (C) 15000 元
  4. (D) 25000 元
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正確答案：(B) 10000 元

總份數 $3+4+5 = 12$，每份 $60000 \div 12 = 5000$ 元。丙得 $5 \times 5000 = 25000$、甲得 $3 \times 5000 = 15000$，相差 $10000$ 元。也可直接算差距份數：$(5-3) \times 5000 = 10000$。注意題目問「差」而非丙的金額，(D) 是答非所問的誘答。