1.基礎解聯立方程式 $\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$，則 $x$ 的值為？
測驗重點：加減消去法
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正確答案：(B) 7
兩式相加消去 y：$2x = 14$，得 $x = 7$（代回得 $y = 3$）。「係數互為相反數時直接相加」是加減消去法最基本的形式。驗算：$7+3=10$ ✓、$7-3=4$ ✓，兩條式都要驗。
內容概述
含兩個未知數的一次方程式需要「兩條方程式」才能確定唯一解。解法有二：代入消去法（把一式的 x 或 y 用另一個未知數表示後代入另一式）與加減消去法（把兩式相加或相減消去一個未知數）。應用題常見「和差問題、雞兔同籠、濃度與價格混合」。
學習重點
- 1二元一次方程式有無限多組解；聯立後通常有唯一解
- 2代入消去法：適合某未知數係數為 1 或 -1 時
- 3加減消去法：先把某未知數的係數化成相同（或互為相反數）再相加減
- 4解要同時滿足兩式，驗算必須代回「兩條」原式
- 5應用題：設兩個未知數 → 找兩個等量關係 → 列兩條方程式
國中教育會考出題趨勢：會考每年必考聯立方程式應用題，情境以「門票價格、購物組合、速率」為主。列式時務必確認「兩個」獨立的等量關係，只找到一個關係就無法解出唯一答案。
108 課綱對應
- 課綱A-7-5 二元一次聯立方程式的意義
- 課綱A-7-6 二元一次聯立方程式的解法與應用
進階探究・深度解析
無解與無限多解的圖形意義：兩條方程式若化簡後形如 $x+y=1$ 與 $x+y=3$（左邊相同、右邊不同）則無解（平行線）；若完全成比例如 $x+y=1$ 與 $2x+2y=2$ 則無限多解（同一條線）。此觀念銜接八下線型函數。
加減消去法的係數處理技巧：解 $3x+2y=7$、$2x+3y=8$ 時，可用「兩式相加得 $5x+5y=15$ → $x+y=3$」再與原式配合，比硬乘係數更快——利用對稱性簡化計算是進階題的加分技巧。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等解聯立方程式 $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 14 \end{cases}$，則 $x + y$ 的值為？
測驗重點：代入消去法
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正確答案：(A) 8
第一式已把 y 表示成 $2x-1$，代入第二式：$3x + (2x - 1) = 14$，$5x = 15$，$x = 3$，$y = 2(3)-1 = 5$。故 $x + y = 8$。注意題目問的是 $x+y$ 而不是 x——「答非所問」是聯立題最冤枉的失分，(B)(C) 就是只答 x 或 y 的誘答。
3.中等某展覽全票每張 250 元、學生票每張 150 元。某團體共買 12 張票，總共花了 2200 元。此團體買了幾張全票？
測驗重點：應用題：票價問題
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正確答案：(C) 4 張
設全票 x 張、學生票 y 張：$\begin{cases} x+y=12 \\ 250x+150y=2200 \end{cases}$。由第一式 $y = 12 - x$ 代入：$250x + 150(12-x) = 2200$，$100x + 1800 = 2200$，$x = 4$。驗算：全票 4 張 1000 元＋學生票 8 張 1200 元 = 2200 ✓。
4.進階已知聯立方程式 $\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = k \end{cases}$ 無解，則 k 需滿足什麼條件？
測驗重點：無解的判斷
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正確答案：(B) $k \neq 3$
第一式除以 2 得 $x + 2y = 3$。若 $k = 3$，兩式相同 → 無限多解；若 $k \neq 3$，則 $x+2y$ 同時等於 3 和 k 兩個不同的數，矛盾 → 無解。「左邊成比例、右邊不成比例 → 無解（平行線）」是聯立方程式的觀念題核心，銜接直線圖形的概念。