國中教育會考 第3冊・八年級上學期 代數

因式分解

提公因式、乘法公式與十字交乘

內容概述

因式分解是展開的逆運算：把多項式寫成幾個因式的乘積。三大方法依序嘗試：①提公因式 ②套乘法公式（平方差、完全平方式）③十字交乘法。因式分解是解一元二次方程式的前置技能。

學習重點

  1. 1第一步永遠先「提公因式」：$6x^2+9x = 3x(2x+3)$
  2. 2平方差分解：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$；$x^2-25=(x+5)(x-5)$
  3. 3完全平方式：$x^2+10x+25 = (x+5)^2$（檢查中間項 = 首尾平方根乘積的 2 倍）
  4. 4十字交乘：$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$（找兩數相乘 = 6、相加 = 5）
  5. 5分解要「徹底」：$x^4-16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$

國中教育會考出題趨勢：會考以十字交乘法為主力考點，二次項係數不為 1 的類型（如 $2x^2+7x+3$）是中高難度分水嶺。「分解不徹底」是常見扣分點——平方差分解完要檢查能否再分。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

十字交乘的系統化思考：分解 $2x^2+7x+3$ 時，把 2 拆成 $2\times1$、3 拆成 $1\times3$ 或 $3\times1$，交叉相乘後相加要等於 7 → $(2x+1)(x+3)$。訓練重點是「有序嘗試」而非亂猜：先固定首項拆法，再輪流試尾項組合。

因式定理的萌芽：若把 $x=1$ 代入 $x^2+5x-6$ 得 0，則 $(x-1)$ 必是它的因式——「代入為零 ↔ 是因式」的對應關係在高中因式定理將正式登場，資優班與私中考試常提前考。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎因式分解 $12x^2 - 8x$。

測驗重點：提公因式

  1. (A) $4(3x^2 - 2x)$
  2. (B) $4x(3x - 2)$
  3. (C) $2x(6x - 4)$
  4. (D) $12x(x - 8)$
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正確答案：(B) $4x(3x - 2)$

公因式要提「最大」的：係數部分 $\gcd(12,8) = 4$，文字部分兩項都有 x，故提 $4x$：$12x^2 - 8x = 4x(3x - 2)$。(A)(C) 都沒提乾淨（括號內仍有公因式），因式分解要求「徹底」。

2.中等因式分解 $x^4 - 81$，下列何者為完全分解的結果？

測驗重點：平方差與徹底分解

  1. (A) $(x^2+9)(x^2-9)$
  2. (B) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$
  3. (C) $(x+3)^2(x-3)^2$
  4. (D) $(x^2-9)^2$
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正確答案：(B) $(x^2+9)(x+3)(x-3)$

第一步平方差：$x^4 - 81 = (x^2+9)(x^2-9)$。檢查：$x^2 - 9$ 還能再分！$= (x+3)(x-3)$。完全分解為 $(x^2+9)(x+3)(x-3)$。$x^2+9$ 是「平方和」，在實數範圍內不能分解。(A) 就是「分解不徹底」的典型扣分答案。

3.中等因式分解 $x^2 - 2x - 15$。

測驗重點：十字交乘法（首項係數 1）

  1. (A) $(x-3)(x+5)$
  2. (B) $(x+3)(x-5)$
  3. (C) $(x-3)(x-5)$
  4. (D) $(x+3)(x+5)$
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正確答案：(B) $(x+3)(x-5)$

找兩數：相乘 $= -15$、相加 $= -2$ → 是 $+3$ 和 $-5$。所以 $x^2-2x-15 = (x+3)(x-5)$。驗算展開：$x^2 -5x +3x -15 = x^2 -2x -15$ ✓。積為負表示兩數異號，和為負表示「絕對值大的那個是負數」——先判斷符號再湊數字。

4.進階因式分解 $6x^2 + 7x - 3$。

測驗重點：十字交乘法（首項係數非 1）

  1. (A) $(2x+3)(3x-1)$
  2. (B) $(6x-1)(x+3)$
  3. (C) $(2x-3)(3x+1)$
  4. (D) $(3x+1)(2x-3)$
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正確答案：(A) $(2x+3)(3x-1)$

十字交乘：6 拆成 $2\times3$、$-3$ 拆成 $3\times(-1)$，交叉檢驗：$2\times(-1) + 3\times3 = -2+9 = 7$ ✓。故 $= (2x+3)(3x-1)$。驗算：$6x^2 -2x +9x -3 = 6x^2+7x-3$ ✓。首項係數非 1 時要「有序嘗試」各種拆法組合，交叉相乘之和等於中間項才正確。