1.基礎展開 $(x + 5)^2$ 的結果為何？
測驗重點：乘法公式展開
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正確答案：(C) $x^2 + 10x + 25$
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$：$(x+5)^2 = x^2 + 2(x)(5) + 25 = x^2 + 10x + 25$。(A) 漏掉中間項 $2ab$，是全國最經典的錯誤——$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$！中間項是首尾兩項乘積的 2 倍。
內容概述
多項式是由「數與文字符號的乘積」相加而成的式子，按次數排列。三大乘法公式：和的平方 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、差的平方 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$、平方差 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。公式不只用來展開，更是速算與因式分解的基礎。
學習重點
- 1$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$：中間項 $2ab$ 千萬不能漏
- 2$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$：注意 $b^2$ 前是正號
- 3$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$：平方差，速算利器（$102\times98=10000-4$）
- 4多項式加減：合併同類項；乘法：逐項分配（直式或橫式）
- 5多項式除法：直式除法，注意缺項要補 0
國中教育會考出題趨勢：會考常考「利用乘法公式速算」（如 $99^2 = (100-1)^2$）與「展開後求特定項係數」。$(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ 是全國國中生最經典的錯誤，判斷題必出。
108 課綱對應
- 課綱A-8-1 二次式的乘法公式
- 課綱A-8-2 多項式的意義
- 課綱A-8-3 多項式的四則運算
進階探究・深度解析
乘法公式的幾何意義：$(a+b)^2$ 可視為邊長 $a+b$ 的正方形面積，切割成 $a^2$、$b^2$ 與兩塊 $ab$——這解釋了中間項 $2ab$ 的由來。會考曾出「用面積圖形驗證乘法公式」的題組，圖形化理解是趨勢。
配方法的前身：由 $x^2 + 6x$ 湊出 $(x+3)^2 - 9$ 的技巧（加上 $(\frac{6}{2})^2$ 再減回），在九年級二次函數頂點式與一元二次方程式中將全面展開，八年級的乘法公式熟練度直接決定九年級的學習曲線。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等利用乘法公式計算 $103 \times 97$ 的值。
測驗重點：平方差公式速算
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正確答案：(A) 9991
$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$。平方差公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ 的速算應用：把兩數寫成「同一個數加減同一個差」。會考速算題的固定班底。
3.中等展開 $(2x - 3)(x + 4)$ 後，x 的一次項係數為何？
測驗重點：展開求係數
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正確答案：(A) 5
逐項分配：$(2x)(x) + (2x)(4) + (-3)(x) + (-3)(4) = 2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$。一次項係數 $= 8 - 3 = 5$。求特定項係數不必全部展開：一次項只來自「外×外、內×內」兩組（$2x \cdot 4$ 與 $-3 \cdot x$），鎖定目標可加快速度。
4.進階已知 $a + b = 7$，$ab = 10$，求 $a^2 + b^2$ 的值。
測驗重點：乘法公式的變形應用
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正確答案：(B) 29
由 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 變形：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 49 - 20 = 29$。「和與積求平方和」是乘法公式變形的招牌題：不需要解出 a、b（其實是 2 和 5），直接用公式關係轉換。延伸：$(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab = 9$，故 $a - b = \pm 3$。