1.基礎解方程式 $x^2 - 7x + 12 = 0$。
測驗重點：因式分解法解方程式
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正確答案：(A) $x = 3$ 或 $x = 4$
十字交乘分解：找相乘 12、相加 $-7$ 的兩數 → $-3$ 和 $-4$。$(x-3)(x-4) = 0$，由「乘積為 0 則至少一因式為 0」得 $x = 3$ 或 $x = 4$。注意因式 $(x-3)=0$ 的解是 $+3$，符號容易搞反。
內容概述
一元二次方程式 $ax^2+bx+c=0$（a≠0）最多有兩個解。解法三部曲：①因式分解法（分解後令各因式為 0）②配方法（湊完全平方）③公式解 $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。判別式 $b^2-4ac$ 決定解的個數。
學習重點
- 1因式分解法原理：$AB = 0 \Rightarrow A=0$ 或 $B=0$
- 2配方法：$x^2+6x+2=0 \Rightarrow (x+3)^2 = 7 \Rightarrow x = -3\pm\sqrt{7}$
- 3公式解：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，先算判別式再代入
- 4判別式 $D = b^2-4ac$：$D>0$ 兩相異實根、$D=0$ 重根、$D<0$ 無實數解
- 5應用題解出後必檢驗：長度、人數不能為負
國中教育會考出題趨勢：會考必考應用題（面積問題、連續整數、拋物運動簡化版），並常考「判別式判斷解的個數」。兩解中「捨去不合理解」的步驟必須寫出，非選題會給分。
108 課綱對應
- 課綱A-8-6 一元二次方程式的意義
- 課綱A-8-7 一元二次方程式的解法與應用
進階探究・深度解析
「移項為零」是使用因式分解法的前提：解 $x^2 = 5x$ 時不能兩邊除以 x（會丟失 $x=0$ 這個解），必須移項 $x^2-5x=0 \Rightarrow x(x-5)=0 \Rightarrow x=0$ 或 $5$。「除以未知數導致失根」是觀念題的高頻陷阱。
根與係數的關係（韋達定理前身）：$x^2+bx+c=0$ 的兩根之和 $=-b$、兩根之積 $=c$。例如兩根為 2、3 的方程式即 $x^2-5x+6=0$。此關係在高中將擴展為韋達定理，會考進階題已有「由根反推方程式」的題型。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等解方程式 $x^2 = 6x$。
測驗重點：移項為零避免失根
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正確答案：(B) $x = 0$ 或 $x = 6$
移項：$x^2 - 6x = 0$，提公因式 $x(x - 6) = 0$，得 $x = 0$ 或 $x = 6$。若兩邊直接除以 x 會丟掉 $x = 0$ 這個解（除以未知數是大忌，因為 x 可能是 0）。(A) 就是「失根」的結果，這是觀念題的必考陷阱。
3.中等方程式 $2x^2 - 4x + 5 = 0$ 的實數解情形為何？
測驗重點：公式解與判別式
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正確答案：(C) 無實數解
判別式 $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(5) = 16 - 40 = -24 < 0$，無實數解。判別式三分法：$D > 0$ 兩相異實根、$D = 0$ 重根（兩相等實根）、$D < 0$ 無實解。不用真的解出來，先算 D 就能判斷解的「個數」。
4.進階一塊長方形菜園，長比寬多 3 公尺，面積為 40 平方公尺。求菜園的寬。
測驗重點：應用題：面積問題與解的取捨
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正確答案：(B) 5 公尺
設寬 x 公尺，長為 $x+3$：$x(x+3) = 40$，$x^2 + 3x - 40 = 0$，分解 $(x+8)(x-5) = 0$，$x = -8$ 或 $x = 5$。寬不能為負，捨去 $-8$，答案為 5 公尺（長 8 公尺，$5\times8=40$ ✓）。「解出兩根 → 依現實意義捨去不合者」是應用題的必要步驟，非選題不寫捨去理由會扣分。