1.基礎$\sqrt{72}$ 介於下列哪兩個連續整數之間？
測驗重點：平方根的意義與估計
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正確答案：(B) 8 和 9
找 72 前後的完全平方數：$8^2 = 64 < 72 < 81 = 9^2$，所以 $8 < \sqrt{72} < 9$。「夾擠估計法」是無理數估值的標準方法：先列出鄰近的完全平方數再比大小。
內容概述
若 $x^2 = a$（a > 0），則 $x = \pm\sqrt{a}$，其中 $\sqrt{a}$ 為正平方根。根式運算核心：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$、化簡 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。畢氏定理：直角三角形兩股平方和等於斜邊平方（$a^2+b^2=c^2$），是幾何測量的基石。
學習重點
- 1$\sqrt{a^2} = |a|$；$\sqrt{16} = 4$（正平方根只有一個）但 $x^2=16$ 有兩解 $\pm 4$
- 2根式化簡：把完全平方因數提出，$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
- 3同類方根才能加減：$3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$；$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 不能合併
- 4畢氏定理：$a^2 + b^2 = c^2$（c 為斜邊＝直角對面的邊）
- 5常見畢氏數：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25) 及其倍數
國中教育會考出題趨勢：會考必考畢氏定理應用（梯子靠牆、對角線長、最短路徑）。根式部分愛考「$\sqrt{a^2}=|a|$」與「估計 $\sqrt{n}$ 介於哪兩個整數之間」。
108 課綱對應
- 課綱N-8-1 平方根與近似值
- 課綱N-8-2 二次方根的運算
- 課綱S-8-6 畢氏定理
進階探究・深度解析
展開圖上的最短路徑是畢氏定理的壓軸題型：螞蟻在長方體表面從一角爬到對角，必須把立體展開成平面後連直線，且不同展開方式的路徑長不同，要比較取最短。此題結合空間想像與畢氏定理，是會考非選題的常客。
$\sqrt{2}$ 是無理數的證明思想（反證法）：假設 $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（最簡分數），則 $p^2=2q^2$，推得 p、q 都是偶數，與最簡矛盾。此為國中生第一次接觸「證明」的經典案例，學測銜接教材常引用。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等計算 $\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8}$ 的值。
測驗重點：根式的化簡與加減
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正確答案：(A) $6\sqrt{2}$
先化簡每一項：$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$、$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$、$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。同類方根合併：$5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$。(C) 是把根號內的數直接相加減的典型錯誤——$\sqrt{a}+\sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$！
3.中等一直角三角形兩股長分別為 9 和 12，則斜邊長為？
測驗重點：畢氏定理基本應用
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正確答案：(B) 15
畢氏定理：斜邊$^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$，斜邊 $= 15$。此為畢氏數 $(3,4,5)$ 的 3 倍 $(9,12,15)$——熟記常見畢氏數及其倍數可大幅加快解題。(A) 13 是 $(5,12,13)$ 的誘答混淆。
4.進階一根長 5 公尺的梯子斜靠在牆上，梯腳距離牆底 3 公尺。若梯腳再往外拉 1 公尺，梯子頂端會下滑多少公尺？
測驗重點：畢氏定理應用：梯子問題
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正確答案：(A) 1 公尺
分「三步驟」解：① 原高度 $\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$ 公尺；② 梯腳拉開後距牆 $3+1=4$ 公尺，新高度 $\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$ 公尺；③ 下滑量 $=4-3=1$ 公尺。本題數字設計巧妙：$(3,4,5)$ 與 $(4,3,5)$ 恰為同一組畢氏數互換。注意「梯腳外拉 1 公尺，頂端不一定下滑 1 公尺」——此題剛好是 1，但換成其他數字通常會出現根號，務必實際計算不可直覺猜測。