國中教育會考 第4冊・八年級下學期 代數

一次函數與線型圖形

函數概念與直線圖形

內容概述

函數描述「一個輸入對應唯一輸出」的關係。一次函數 $y = ax + b$（a≠0）的圖形是直線：a 是斜率（a>0 右上升、a<0 右下降），b 是 y 截距（與 y 軸交點）。常數函數 $y = b$ 是水平線。

學習重點

  1. 1函數的定義：每個 x 恰對應「一個」y；$y = \pm\sqrt{x}$ 不是函數
  2. 2$y = ax + b$：a > 0 圖形右上升；a < 0 右下降；|a| 越大越陡
  3. 3b 是 y 截距：圖形與 y 軸交於 $(0, b)$；x 截距令 $y=0$ 求得
  4. 4求函數式：代入兩點解聯立，或用「斜率＋一點」
  5. 5應用：計程車費率、水電費、手機資費等分段計價情境

國中教育會考出題趨勢：會考愛考「由圖形判斷 a、b 正負」與「資費方案比較」應用題（哪種方案在什麼用量下較划算——即求兩直線交點）。圖表判讀與代數計算的整合是近年主流題型。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

兩直線交點的意義：資費方案 A（$y=100+2x$）與方案 B（$y=3x$）的交點 $x=100$ 是「兩方案價格相同」的臨界用量——超過臨界值選 A 划算、低於則選 B。「交點 = 決策分界」的解讀能力是 108 課綱素養題的核心。

斜率作為「變化率」的預備概念：$y=ax+b$ 中，x 每增加 1，y 恰增加 a——這個「單位變化量」觀點在九年級二次函數（變化率不固定）與高中微分（瞬時變化率）中層層深化，是函數思維的主軸線。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎已知一次函數 $f(x) = 3x - 5$，求 $f(4)$ 的值。

測驗重點：函數值計算

  1. (A) 7
  2. (B) 12
  3. (C) 17
  4. (D) $-5$
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正確答案：(A) 7

把 $x = 4$ 代入：$f(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7$。函數記號 $f(4)$ 的意思是「輸入 4 時的輸出值」，把式子中所有 x 換成 4 即可。

2.中等一次函數 $y = ax + b$ 的圖形「由左向右下降」且與 y 軸交於正半軸，則 a、b 的正負為何？

測驗重點：由圖形判斷係數正負

  1. (A) $a > 0, b > 0$
  2. (B) $a < 0, b > 0$
  3. (C) $a < 0, b < 0$
  4. (D) $a > 0, b < 0$
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正確答案：(B) $a < 0, b > 0$

右下降 → 斜率 $a < 0$；與 y 軸交於「正半軸」→ y 截距 $b > 0$。判讀口訣：a 看傾斜方向（上升正、下降負），b 看與 y 軸的交點位置（上正下負）。此題型是會考圖形判讀的基本盤。

3.中等一次函數的圖形通過 $(1, 5)$ 和 $(3, 11)$ 兩點，求此函數式。

測驗重點：由兩點求函數式

  1. (A) $y = 3x + 2$
  2. (B) $y = 2x + 3$
  3. (C) $y = 3x - 2$
  4. (D) $y = 4x + 1$
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正確答案：(A) $y = 3x + 2$

設 $y = ax + b$，代入兩點：$\begin{cases} a + b = 5 \\ 3a + b = 11 \end{cases}$，相減得 $2a = 6$，$a = 3$，$b = 2$。故 $y = 3x + 2$。也可先算斜率 $a = \frac{11-5}{3-1} = 3$ 再代一點求 b，兩種方法都要熟。

4.進階影印店 A 方案：每張 2 元；B 方案：先付 60 元月費後每張 1.5 元。至少影印超過幾張時，選 B 方案才比較划算？

測驗重點：資費方案比較（素養題）

  1. (A) 100 張
  2. (B) 120 張
  3. (C) 150 張
  4. (D) 60 張
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正確答案：(B) 120 張

設印 x 張：A 費用 $= 2x$，B 費用 $= 60 + 1.5x$。B 較划算的條件：$60 + 1.5x < 2x$，解得 $x > 120$。「超過 120 張」B 才便宜；恰好 120 張時兩方案同價（都是 240 元）。兩直線交點 $x = 120$ 是決策臨界點——這類資費比較是 108 課綱素養題的招牌題型。