1.基礎等差數列 $5, 9, 13, 17, \ldots$ 的第 20 項為何？
測驗重點：等差數列第 n 項
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正確答案：(A) 81
首項 $a_1=5$，公差 $d=9-5=4$。第 20 項 $a_{20}=a_1+(20-1)d=5+19\times4=5+76=81$。最常見錯誤是把 $(n-1)$ 誤用成 $n$，算成 $5+20\times4=85$——記住「第 n 項只加了 $n-1$ 個公差」。
內容概述
數列是「按順序排列的一串數」。等差數列每一項與前一項的差固定（公差 $d$），第 $n$ 項公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$。等差級數是等差數列的和，求和公式 $S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}$，源自高斯「首尾相加」的經典思路。
學習重點
- 1等差數列第 $n$ 項：$a_n = a_1 + (n-1)d$（注意是 $n-1$ 個公差）
- 2等差中項：若 $a, b, c$ 成等差，則 $b = \dfrac{a+c}{2}$
- 3等差級數和：$S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = \dfrac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$
- 4由 $S_n$ 反求項數或首項是常見變化題
- 5圖形規律題（火柴棒、磁磚）本質就是等差數列
國中教育會考出題趨勢：會考最愛以「圖形規律」包裝等差數列：第 1 個圖形用 5 根火柴、每多一個圖形多 3 根⋯⋯求第 n 個圖形。關鍵是先確認「首項」與「公差」，再套 $a_n = a_1+(n-1)d$，切勿死背表格硬數。
108 課綱對應
- 課綱N-8-4 數列
- 課綱N-8-5 等差數列
- 課綱N-8-6 等差級數求和
進階探究・深度解析
高斯求和法的精神：$1+2+\cdots+100$ 首尾配對，每對和都是 $101$，共 $50$ 對，得 $5050$。求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 就是「（首項＋末項）× 項數 ÷ 2」，理解配對思路就永遠不會背錯公式。
常見陷阱是「項數算錯」：從第 3 項到第 10 項共有 $10-3+1=8$ 項，不是 7 項。植樹問題、樓層問題都是同一種「區間端點計數」，記法：兩端都算就 $+1$。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等求等差級數 $3+7+11+\cdots+79$ 的和。
測驗重點：等差級數求和
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正確答案：(A) 820
先求項數：$a_n=3+(n-1)\times4=79 \Rightarrow (n-1)\times4=76 \Rightarrow n=20$。再求和：$S_{20}=\dfrac{20\times(3+79)}{2}=10\times82=820$。兩步驟「先項數、後求和」是此類題的固定流程，項數算錯是最大失分點。
3.中等用火柴棒排正方形連環圖案：第 1 個圖形用 4 根，之後每多排一個正方形多用 3 根。排到第 15 個圖形共需多少根火柴棒？
測驗重點：圖形規律（生活情境）
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正確答案：(A) 46
這是等差數列：$a_1=4$、$d=3$，第 15 個圖形 $a_{15}=4+(15-1)\times3=4+42=46$。注意題目問的是「排到第 15 個圖形的總根數」即第 15 項本身（火柴是累積共用的），不是級數和。仔細分辨題意問「第 n 項」還是「前 n 項和」，是會考圖形規律題的核心。
4.進階等差數列中，$a_3 = 11$，$a_8 = 26$，則公差 $d$ 為何？
測驗重點：等差中項與反求公差
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正確答案：(A) 3
$a_8 - a_3 = (8-3)d = 5d$，所以 $5d = 26-11 = 15$，$d = 3$。技巧：「任兩項之差 ＝ 項數差 × 公差」，即 $a_m - a_n = (m-n)d$，不必先求首項。此關係式在學測數列題中仍持續使用，值得內化。