國中教育會考 第4冊・八年級下學期 空間與形狀

三角形的基本性質與全等

內角和、邊角關係與全等判定

內容概述

三角形內角和 $180°$、外角等於不相鄰兩內角和，是所有角度計算的基礎。全等三角形對應邊、對應角相等，判定條件有 SSS、SAS、ASA、AAS、RHS 五種——注意 SSA 與 AAA 不能保證全等。邊角關係：大邊對大角、任兩邊之和大於第三邊。

學習重點

  1. 1內角和 $180°$；外角＝不相鄰兩內角之和
  2. 2全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、RHS（直角、斜邊、股）
  3. 3SSA 和 AAA「不能」判定全等（AAA 只能相似）
  4. 4三角形任兩邊之和 > 第三邊；任兩邊之差 < 第三邊
  5. 5大邊對大角、大角對大邊；等腰三角形兩底角相等

國中教育會考出題趨勢：會考幾何證明題幾乎必用全等：先從圖中找出「共用邊、對頂角、平行線截角」湊出三組對應條件，再指明判定法。選擇題則愛考「哪一組條件不能判定全等」——SSA 是標準答案候選。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

為什麼 SSA 不行？固定一角與兩邊時，第三邊可能「擺」出兩種不同的三角形（鈍角與銳角各一），這稱為模糊情形。但若已知的角是直角或鈍角，SSA 反而唯一——RHS 就是 SSA 在直角情形下的特例，這是判定法之間的深層聯繫。

三角形不等式的判斷技巧：只需檢查「最小兩邊之和是否大於最大邊」即可，不必檢查三次。例如 4、7、12：$4+7=11<12$，不能成三角形。此原理來自「兩點之間直線最短」。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎三角形 $ABC$ 中，$\angle A = 55°$，$\angle B = 65°$，則 $\angle C$ 的外角為多少度？

測驗重點：內角和與外角

  1. (A) 120°
  2. (B) 60°
  3. (C) 125°
  4. (D) 115°
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正確答案：(A) 120°

方法一：$\angle C = 180°-55°-65° = 60°$，外角 $=180°-60°=120°$。方法二（更快）：外角定理——三角形的外角等於「不相鄰兩內角之和」$=55°+65°=120°$。兩法答案相同，但外角定理少一步，是會考搶時間的利器。

2.中等下列哪一組條件「不能」保證兩個三角形全等？

測驗重點：全等判定條件辨析

  1. (A) 兩邊及其中一邊的對角對應相等（SSA）
  2. (B) 三邊對應相等（SSS）
  3. (C) 兩角及其夾邊對應相等（ASA）
  4. (D) 兩邊及其夾角對應相等（SAS）
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正確答案：(A) 兩邊及其中一邊的對角對應相等（SSA）

SSS、SAS、ASA（以及 AAS、RHS）都是有效的全等判定；SSA 因為「已知角不是夾角」，第三邊可能擺出兩種不同形狀的三角形，不能保證全等。AAA 也不能判定全等（只能相似）。這是會考觀念題的經典選項配置。

3.中等三角形兩邊長為 5 和 9，第三邊長 $x$ 為整數，則 $x$ 共有幾種可能？

測驗重點：三角形邊長限制

  1. (A) 9 種
  2. (B) 10 種
  3. (C) 8 種
  4. (D) 13 種
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正確答案：(A) 9 種

三角形不等式：$9-5 < x < 9+5$，即 $4 < x < 14$。整數解為 $5, 6, 7, \ldots, 13$，共 $13-5+1=9$ 種。注意端點 4 和 14 不能取（會退化成一直線）。「兩邊之差 < 第三邊 < 兩邊之和」一次寫出範圍最有效率。

4.進階等腰三角形 $ABC$ 中 $AB=AC$，$\angle A = 40°$。$D$ 為 $BC$ 中點，連 $AD$，則 $\angle BAD$ 為多少度？

測驗重點：等腰三角形與全等綜合

  1. (A) 20°
  2. (B) 40°
  3. (C) 70°
  4. (D) 35°
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正確答案：(A) 20°

由 $AB=AC$、$BD=DC$、$AD$ 共用，得 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SSS），故 $\angle BAD = \angle CAD = \dfrac{40°}{2} = 20°$。此題揭示等腰三角形「三線合一」：頂角平分線、底邊中線、底邊上的高是同一條線，這個性質在後續的外心內心重心單元會再度登場。