1.基礎三角形中，「到三個頂點距離相等」的點是下列何者？
測驗重點：三心的定義配對
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正確答案：(A) 外心
外心是三邊垂直平分線的交點，垂直平分線上的點到線段兩端等距，故外心到三頂點等距（＝外接圓半徑）。配對記法：外心對「頂點」等距、內心對「邊」等距、重心是中線交點管「$2:1$」。三心定義配對是會考送分題，務必零失誤。
內容概述
外心是三邊「垂直平分線」的交點，到三頂點等距，是外接圓圓心；內心是三「角平分線」的交點，到三邊等距，是內切圓圓心；重心是三「中線」的交點，把每條中線分成 $2:1$。三心各自的「等距對象」與「分割比例」是本章核心。
學習重點
- 1外心 O：垂直平分線交點，$OA=OB=OC=$ 外接圓半徑 $R$
- 2直角三角形的外心在「斜邊中點」，$R = \dfrac{斜邊}{2}$
- 3內心 I：角平分線交點，到三邊等距 $=$ 內切圓半徑 $r$；$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2}$
- 4重心 G：中線交點，$AG:GD = 2:1$（頂點到重心是重心到中點的 2 倍）
- 5重心把三角形分成六個面積相等的小三角形；面積公式 $r = \dfrac{2 \times 面積}{周長}$
國中教育會考出題趨勢：會考必考「三心配對」：垂直平分線→外心→到頂點等距；角平分線→內心→到邊等距；中線→重心→$2:1$。直角三角形外心在斜邊中點、內切圓半徑 $r=\dfrac{a+b-c}{2}$（直角三角形），是計算題兩大高頻公式。
108 課綱對應
- 課綱S-9-6 外心
- 課綱S-9-7 內心
- 課綱S-9-8 重心
進階探究・深度解析
為何直角三角形的外心恰在斜邊中點？因為斜邊中點到三頂點等距（斜邊上的中線等於斜邊的一半），這也解釋了「半圓上的圓周角是直角」——泰勒斯定理的另一面。外心位置還能判斷三角形形狀：銳角三角形外心在內部、直角在斜邊上、鈍角在外部。
重心的物理意義：一塊均勻三角形木板，用一根針頂住重心就能平衡。$2:1$ 比例可用面積法證明：中線把三角形分成面積相等的兩塊，三條中線交織出的六個小三角形面積全等，數面積比就得到 $2:1$。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等直角三角形兩股長為 6 和 8，則其外接圓半徑為何？
測驗重點：直角三角形的外接圓半徑
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正確答案：(A) 5
斜邊 $=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$（畢氏數 $(3,4,5)$ 的 2 倍）。直角三角形的外心在斜邊中點，外接圓半徑 $R=\dfrac{斜邊}{2}=\dfrac{10}{2}=5$。誘答 (B) 10 是忘記除以 2 的結果。此性質源自「斜邊上的中線等於斜邊的一半」。
3.中等三角形 $ABC$ 中，$AD$ 為中線，$G$ 為重心。若 $AD = 12$，則 $GD$ 為何？
測驗重點：重心的 2:1 性質
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正確答案：(A) 4
重心把中線分成 $AG:GD = 2:1$，所以 $GD = 12 \times \dfrac{1}{3} = 4$（$AG = 8$）。方向別搞反：靠「頂點」那段較長（2 份）、靠「中點」那段較短（1 份）。誘答 (B) 8 是 $AG$ 的長度，審題要看清問哪一段。
4.進階三角形 $ABC$ 中 $\angle A = 70°$，$I$ 為內心，則 $\angle BIC$ 為多少度？
測驗重點：內心角度公式
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正確答案：(A) 125°
內心公式：$\angle BIC = 90° + \dfrac{\angle A}{2} = 90° + 35° = 125°$。推導：$\angle IBC + \angle ICB = \dfrac{\angle B + \angle C}{2} = \dfrac{180°-70°}{2} = 55°$，故 $\angle BIC = 180°-55° = 125°$。與外心版本 $\angle BOC = 2\angle A = 140°$（誘答 C）對照記憶，兩公式常在會考同題組出現。