國中教育會考 第6冊・九年級下學期 資料與不確定性

機率

樣本空間與古典機率

內容概述

古典機率：在每個結果出現機會均等的前提下，事件機率 $P = \dfrac{\text{有利結果數}}{\text{全部結果數}}$。機率值必介於 0 與 1 之間。求機率的關鍵是完整列出「樣本空間」——樹狀圖與表格是兩大工具，特別在擲兩顆骰子、連抽兩球等複合情境。

學習重點

  1. 1$P(\text{事件}) = \dfrac{\text{有利結果數}}{\text{全部結果數}}$，且 $0 \le P \le 1$
  2. 2擲兩顆骰子的樣本空間有 $6 \times 6 = 36$ 種（用表格列舉最不易漏）
  3. 3「至少」問題常用餘事件：$P(\text{至少一次}) = 1 - P(\text{一次都沒有})$
  4. 4抽出後「放回」與「不放回」的樣本空間不同，務必看清題意
  5. 5機率是長期頻率的預測，不保證短期結果（擲 10 次未必恰 5 次正面）

國中教育會考出題趨勢：會考機率題幾乎都能用「列表或樹狀圖」硬列解決：兩骰點數和、轉盤兩次、抽撲克牌。陷阱集中在「不放回」（第二次的總數少 1）與「點數和的非均等性」（和為 7 有 6 種、和為 2 只有 1 種，機會不相等）。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

「兩骰點數和為 7」機率最高（$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$）的原因：組合 $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ 恰好 6 種，比其他和都多。賭場骰子遊戲的規則設計正是利用這種非均等分布，理解樣本空間就能看穿「憑感覺」的謬誤。

生日悖論的直覺衝擊：23 人的班級中「至少兩人同一天生日」的機率超過 50%！計算用的正是餘事件：$1-P(\text{全部不同天})$。這示範了「至少」問題化為餘事件的威力——正面計算要分十幾種情況，反面只要一種。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎一袋中有 3 顆紅球、5 顆白球、2 顆藍球，隨機取出一球，取到「不是白球」的機率為何？

測驗重點：古典機率基本計算

  1. (A) $\dfrac{1}{2}$
  2. (B) $\dfrac{3}{10}$
  3. (C) $\dfrac{1}{5}$
  4. (D) $\dfrac{2}{5}$
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正確答案：(A) $\dfrac{1}{2}$

全部 $3+5+2=10$ 顆。「不是白球」＝紅或藍 $=3+2=5$ 顆，機率 $=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$。也可用餘事件：$1-P(\text{白})=1-\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}$。「不是」「至少」等字眼出現時，先想餘事件往往更快。

2.中等同時擲兩顆公正骰子，點數和為 8 的機率為何？

測驗重點：兩骰的樣本空間

  1. (A) $\dfrac{5}{36}$
  2. (B) $\dfrac{1}{6}$
  3. (C) $\dfrac{1}{11}$
  4. (D) $\dfrac{4}{36}$
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正確答案：(A) $\dfrac{5}{36}$

樣本空間 $6\times6=36$ 種。和為 8：$(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ 共 5 種，機率 $\dfrac{5}{36}$。注意 $(3,5)$ 與 $(5,3)$ 是不同結果，但 $(4,4)$ 只有一種——這是列舉時最容易多算或漏算的地方。(C) $\frac{1}{11}$ 是誤以為「和 2～12 共 11 種且機會均等」的典型錯誤。

3.中等箱中有 4 顆紅球、2 顆白球。連續取出兩球（取後不放回），兩球都是紅球的機率為何？

測驗重點：不放回抽取

  1. (A) $\dfrac{2}{5}$
  2. (B) $\dfrac{4}{9}$
  3. (C) $\dfrac{1}{2}$
  4. (D) $\dfrac{4}{15}$
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正確答案：(A) $\dfrac{2}{5}$

第一球紅：$\dfrac{4}{6}$；不放回後剩 5 顆（紅 3 白 2），第二球紅：$\dfrac{3}{5}$。相乘：$\dfrac{4}{6}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$。(B) $\frac{4}{9}$ 是誤用「放回」算法 $\frac{4}{6}\times\frac{4}{6}$ 的結果。「不放回＝第二次分母與分子都要更新」是此類題的命脈。

4.進階擲一枚公正硬幣 3 次，「至少出現一次正面」的機率為何？

測驗重點：餘事件（至少問題）

  1. (A) $\dfrac{7}{8}$
  2. (B) $\dfrac{1}{2}$
  3. (C) $\dfrac{3}{8}$
  4. (D) $\dfrac{1}{8}$
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正確答案：(A) $\dfrac{7}{8}$

餘事件法：「至少一次正面」的反面是「全部反面」，$P(\text{全反})=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$，故所求 $=1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}$。正面硬列要數 7 種情形，反面只需 1 種——「至少」問題化為餘事件是機率解題最重要的策略，高中的獨立事件與二項分布仍沿用此思路。