1.基礎二次函數 $y = -2(x-3)^2 + 5$ 的圖形，其頂點坐標與開口方向為何？
測驗重點：頂點式判讀
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正確答案：(A) 頂點 $(3, 5)$，開口向下
頂點式 $y=a(x-h)^2+k$ 的頂點是 $(h, k)$：由 $(x-3)^2$ 得 $h=3$（注意符號：括號內是「減 h」），$k=5$，頂點 $(3,5)$。$a=-2<0$ 開口向下。最常見錯誤是把 $h$ 的符號弄反選 (B)——記住「括號裡變號、尾巴不變號」。
內容概述
二次函數 $y = ax^2+bx+c$（$a \neq 0$）的圖形是拋物線：$a>0$ 開口向上有最小值，$a<0$ 開口向下有最大值。配方成頂點式 $y = a(x-h)^2+k$ 後，頂點 $(h, k)$、對稱軸 $x=h$ 一目了然。$|a|$ 越大開口越窄。
學習重點
- 1$a>0$ 開口向上（谷底＝最小值）；$a<0$ 開口向下（山頂＝最大值）
- 2頂點式 $y=a(x-h)^2+k$：頂點 $(h,k)$、對稱軸 $x=h$
- 3配方法：$y=ax^2+bx+c \Rightarrow h=-\dfrac{b}{2a}$，$k$ 代入求得
- 4$|a|$ 越大，開口越窄；$y=ax^2$ 上下平移得 $y=ax^2+k$、左右平移得 $y=a(x-h)^2$
- 5應用題：面積最大、利潤最大、拋射最高點，都化為求頂點
國中教育會考出題趨勢：會考固定考「開口方向與頂點位置」的判讀，以及生活情境的最值問題（圍籬笆求最大面積、定價求最大收入）。平移敘述題要小心：「向右平移 3」是把 $x$ 換成 $x-3$，方向與直覺相反，是最經典陷阱。
108 課綱對應
- 課綱F-9-1 二次函數的意義
- 課綱F-9-2 二次函數的圖形
- 課綱F-9-3 二次函數的最大值與最小值
進階探究・深度解析
為什麼「向右平移 3」是 $x \to x-3$？新圖形上的點 $(x, y)$ 對應原圖形上的 $(x-3, y)$：要知道新圖在 $x$ 處的高度，得回頭查原圖在 $x-3$ 處的值。理解「查表回推」的邏輯，就不會再把平移方向弄反——這個觀念直通高中函數圖形變換。
圍籬最值經典題：用 20 公尺籬笆圍長方形，設一邊 $x$，面積 $A = x(10-x) = -x^2+10x = -(x-5)^2+25$，當 $x=5$（正方形）時最大 $25$ 平方公尺。「周長固定時正方形面積最大」是等周問題最簡單的情形，背後是配方法的威力。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等二次函數 $y = x^2 - 6x + 11$ 的最小值為何？
測驗重點：配方法求頂點
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正確答案：(A) 2
配方：$y = x^2-6x+9-9+11 = (x-3)^2+2$。因 $a=1>0$ 開口向上，當 $x=3$ 時有最小值 $2$。配方口訣：「一次項係數一半的平方，加了再減」。也可用公式 $h=-\dfrac{b}{2a}=3$ 代回求 $k$。誘答 (D) 3 是最小值發生的位置 $x$ 值，不是最小值本身。
3.中等將 $y = x^2$ 的圖形向右平移 2 單位、再向上平移 3 單位，所得圖形的方程式為何？
測驗重點：圖形平移
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正確答案：(A) $y = (x-2)^2 + 3$
向右平移 2：$x$ 換成 $x-2$；向上平移 3：整體 $+3$。得 $y=(x-2)^2+3$。「右移是減、左移是加」與直覺相反，是本單元最大陷阱——理由是新圖上 $x$ 處的值要回頭查原圖 $x-2$ 處。上下平移則與直覺一致（上加下減）。
4.進階用 40 公尺的籬笆圍一塊靠牆的長方形菜園（靠牆的一邊不需籬笆）。設垂直於牆的一邊長 $x$ 公尺，則菜園最大面積為多少平方公尺？
測驗重點：最值應用題
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正確答案：(A) 200
平行於牆的邊長 $=40-2x$，面積 $A = x(40-2x) = -2x^2+40x = -2(x-10)^2+200$。當 $x=10$ 時最大面積 $200$ 平方公尺（此時菜園為 $10 \times 20$）。注意「靠牆」情境只用兩條垂直邊＋一條平行邊，與四邊全圍的題型（最大會是正方形）結論不同，審題是關鍵。