圓

正確答案：(C) $110^\circ$

步驟一:利用「切線與半徑垂直」。因為 $\overline{PA}$、$\overline{PB}$ 為切線,所以 $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$。 步驟二:求圓心角 $\angle AOB$。在四邊形 $PAOB$ 中,內角和為 $360^\circ$,故 $$\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 140^\circ$$ 步驟三:判斷 $D$ 所對的弧。$D$ 在劣弧 $AB$ 上,所以圓周角 $\angle ADB$ 所對的是「優弧 $AB$」,其對應的圓心角為反射角: $$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$$ 步驟四:由圓周角為圓心角的一半,得 $$\angle ADB = 220^\circ \div 2 = 110^\circ$$ (另解:取優弧上一點 $C$,則 $\angle ACB = 140^\circ \div 2 = 70^\circ$;因 $ACBD$ 為圓內接四邊形,對角互補,故 $\angle ADB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$。) 【常見陷阱】本題最容易忽略 $D$ 的位置在「劣弧」上:若直接算 $140^\circ \div 2 = 70^\circ$,就是誤把 $D$ 當成在優弧上;圓周角所對的弧必須是「不含該點的那段弧」,務必先確認點的位置再套公式。

仿112年會考第18題與109年會考第21題綜合風格: 切線性質求圓心角,再結合圓周角與圓內接四邊形對角互補的多步驟推理

正確答案：(A) 43

內接四邊形的一個重要性質是對角互補：相對的兩個內角和為 180°。已知 ∠A = 137°，因此與之相對的角 ∠C = 180° − ∠A = 180° − 137° = 43°。（順帶驗算：已知 ∠B = 43°，則與之相對的 ∠D = 180° − 43° = 137°，與 ∠A 對應，符合內接四邊形對角互補的性質。）故答案為 43°。

仿107年會考第25題風格: 圓內接四邊形對角互補

正確答案：(C) $70^\circ$

步驟一:連接 $\overline{OA}$、$\overline{OB}$。因為切線與過切點的半徑垂直,所以 $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$。 步驟二:考慮四邊形 $PAOB$,其內角和為 $360^\circ$,故 $$\angle AOB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-\angle APB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-40^\circ=140^\circ。$$ 步驟三:$\angle AOB=140^\circ$ 是劣弧 $AB$ 所對的圓心角。$C$ 在優弧 $AB$ 上,故 $\angle ACB$ 是劣弧 $AB$ 所對的圓周角,由「圓周角 $=$ 圓心角 $\div 2$」得 $$\angle ACB=\dfrac{140^\circ}{2}=70^\circ。$$ 常見陷阱:本題需先利用「切線 $\perp$ 半徑」與四邊形內角和求出圓心角,再除以 $2$ 求圓周角,是兩步驟推理。許多學生會直接把 $\angle APB$ 當成圓心角(得 $20^\circ$)、直接當成圓周角(得 $40^\circ$),或求出圓心角 $140^\circ$ 後忘記除以 $2$,務必留意 $\angle APB$ 與 $\angle AOB$ 互補的關係。

仿112年會考第18題與110年會考第9題綜合風格: 切線垂直半徑結合四邊形內角和求圓心角,再轉換為圓周角的多步驟推理題

正確答案：(C) 70

圓內接四邊形對角互補,∠A+∠C=180°,故∠C=180°-110°=70°。

仿107年會考第25題風格: 圓內接四邊形對角關係

正確答案：(B) 40

圓周角定理: 同弧所對的圓周角是圓心角的一半,故圓周角 = 80° ÷ 2 = 40°。

仿110年會考第9題風格: 圓心角與圓周角基本關係