相似三角形的性質與應用
兩個三角形若對應角相等、對應邊成比例,即為「相似三角形」。相似三角形的邊長比會等於面積比的平方根,這是會考最常出現的陷阱題。透過拖曳頂點,即可即時觀察邊長比與角度如何影響相似關係。
國中教育會考出題趨勢：會考常考「利用相似三角形算出無法直接測量的高度或距離」,以及「面積比與邊長比混淆」的陷阱題,務必區分邊長比與面積比的關係。
拖曳滑桿與圖形，觀察數學關係如何變化
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測驗重點：仿108年會考第14題風格: 相似三角形應用於實際測量情境
正確答案：(B) 4.5
由於太陽光線方向相同，標竿與其影長以及高樹與其影長分別構成的兩個直角三角形相似。設高樹高度為 h，利用對應邊成比例： 標竿高度 / 標竿影長 = 高樹高度 / 高樹影長 即 1.25 / 2.5 = h / 9。 計算得 h = 9 × (1.25 / 2.5) = 9 × 0.5 = 4.5（公尺）。 因此正確答案為 4.5 公尺。常見的陷阱是把影長比當作面積比，或是沒有先確認光線方向相同而誤用比例。這裡應直接用邊長比例求高度。
仿108年會考第14題風格: 相似三角形應用於實際測量情境
測驗重點：仿110年會考第21題風格: 平行線構成相似三角形,結合面積比與邊長比平方關係的多步驟陷阱題
正確答案：(C) $84$
步驟一:因為 $\overline{DE} \parallel \overline{BC}$,所以 $\angle ADE = \angle ABC$(同位角)、$\angle A$ 為公共角,由 AA 相似判定可知 $\triangle ADE \sim \triangle ABC$。 步驟二:找出正確的相似比(邊長比)。注意相似比是 $AD:AB$,而不是 $AD:DB$! $AB = AD + DB = 4 + 6 = 10$,所以相似比為 $AD:AB = 4:10 = 2:5$。 步驟三:面積比等於邊長比的「平方」: $$\triangle ADE : \triangle ABC = 2^2 : 5^2 = 4 : 25$$ 步驟四:設 $\triangle ABC$ 面積為 $x$,則 $\dfrac{16}{x} = \dfrac{4}{25}$,解得 $x = \dfrac{16 \times 25}{4} = 100$ 平方公分。 步驟五:梯形 $DBCE$ 的面積 $=$ $\triangle ABC$ 面積 $-$ $\triangle ADE$ 面積 $= 100 - 16 = 84$ 平方公分。 【常見陷阱】本題有三個易錯點:(1) 誤把 $AD:DB = 2:3$ 當成相似比,正確應為 $AD:AB = 2:5$;(2) 忘記面積比是邊長比的平方,直接用 $2:5$ 當面積比;(3) 算出 $\triangle ABC = 100$ 後,忘記題目問的是梯形,沒有扣掉 $\triangle ADE$ 的面積。
仿110年會考第21題風格: 平行線構成相似三角形,結合面積比與邊長比平方關係的多步驟陷阱題
測驗重點：仿109年會考第22題風格: 面積比與邊長比轉換陷阱題
正確答案：(B) 12
面積比 = 邊長比的平方,4:9 開根號得邊長比為 2:3,故 △DEF 對應邊 = 8×3/2 = 12公分。此題常見陷阱是誤把面積比直接當邊長比。
仿109年會考第22題風格: 面積比與邊長比轉換陷阱題
測驗重點：仿111年會考第7題風格: 平行線截比例線段, 考對應邊比例關係
正確答案：(B) 9
因為 DE//BC,△ADE ~ △ABC (AA相似)。對應邊比 AD:AB = DE:BC,AB=AD+DB=5,故 3:5 = 6:BC,BC = 6×5/3 = 10。
仿111年會考第7題風格: 平行線截比例線段, 考對應邊比例關係
測驗重點：仿108年會考第14題風格: 相似三角形應用於實際測量情境
正確答案：(B) 9
解：由於太陽光方向相同，直杆與其影子、以及高樹與其影子所形成的兩個三角形相似。設高樹高度為 h（公尺），由相似三角形對應邊成比例，有比例關係：1.2 / 1.8 = h / 13.5。兩邊交叉相乘得 h = 1.2 × 13.5 ÷ 1.8。先把 1.2 ÷ 1.8 化簡為 2/3，所以 h = (2/3) × 13.5 = 2 × 4.5 = 9（公尺）。因此答案為 9 公尺。注意常見陷阱是把面積比與邊長比混淆，本題只需用邊長比例。
仿108年會考第14題風格: 相似三角形應用於實際測量情境