大學學科能力測驗 數學4A・高二下學期 資料與不確定性

條件機率與貝氏定理

資訊更新下的機率推理

內容概述

條件機率 $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ 回答「在 B 已發生的前提下，A 的機率」——樣本空間縮小為 B。全機率定理把複雜事件按「原因」分拆；貝氏定理則反向推理：「由結果回推原因的機率」，是醫學篩檢、垃圾郵件過濾與 AI 推論的數學核心。

學習重點

  1. 1條件機率：$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$；「樣本空間縮小成 B」
  2. 2乘法規則：$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$
  3. 3全機率定理：$P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \cdots$（按原因分拆）
  4. 4貝氏定理：$P(B_i|A) = \dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$（由結果反推原因）
  5. 5獨立的等價判定：$P(A|B) = P(A)$ ⟺ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

大學學科能力測驗出題趨勢：學測條件機率題以「表格題」最常見：給男女生 × 及格與否的人數表，問「已知是女生，及格的機率」。貝氏定理則以疾病篩檢（偽陽性）情境為主——「檢驗陽性真的生病的機率」往往低得反直覺，是素養命題的招牌戲碼。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

篩檢悖論的震撼：某病盛行率 1%，檢驗準確率 99%（真陽性 99%、偽陽性 1%）。檢驗陽性者真正患病的機率？用貝氏：$\dfrac{0.01 \times 0.99}{0.01 \times 0.99 + 0.99 \times 0.01} = 50\%$——只有一半！因為健康人口基數大，偽陽性人數與真陽性一樣多。這解釋了為何醫師要求「複檢」，也是機率素養最有力的一課。

$P(A|B)$ 與 $P(B|A)$ 的混淆是最危險的推理謬誤：「罪犯 90% 是男性」不等於「男性 90% 是罪犯」。檢方謬誤（prosecutor's fallacy）曾在真實法庭上導致誤判。分清「條件」與「結論」的方向，是條件機率單元真正要教會的思維紀律。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎某班 40 人中，男生 24 人裡有 18 人及格，女生 16 人裡有 12 人及格。從全班隨機抽一人，已知抽到的是女生，則她及格的機率為何？

測驗重點：表格型條件機率

  1. (A) $\dfrac{3}{4}$
  2. (B) $\dfrac{12}{40}$
  3. (C) $\dfrac{30}{40}$
  4. (D) $\dfrac{12}{30}$
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正確答案：(A) $\dfrac{3}{4}$

條件「是女生」把樣本空間縮小為 16 人，其中及格 12 人：$P(\text{及格}|\text{女}) = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4}$。(B) $\frac{12}{40}$ 是 $P(\text{女且及格})$——分母用了全班，忘了條件已縮小樣本空間。條件機率的核心動作就是「換分母」：分母永遠是條件事件的個數。

2.中等袋中有 5 顆紅球、3 顆白球，依序取出兩球（不放回）。「第一球紅且第二球白」的機率為何？

測驗重點：乘法規則

  1. (A) $\dfrac{15}{56}$
  2. (B) $\dfrac{15}{64}$
  3. (C) $\dfrac{8}{15}$
  4. (D) $\dfrac{1}{2}$
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正確答案：(A) $\dfrac{15}{56}$

乘法規則：$P(\text{紅}_1 \cap \text{白}_2) = P(\text{紅}_1) \times P(\text{白}_2|\text{紅}_1) = \dfrac{5}{8} \times \dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{56}$。第二次的分母變 7（不放回少一顆）、白球仍 3 顆。(B) 是誤用放回情形 $\frac{5}{8}\times\frac{3}{8}$。「條件機率就是動態更新的機率」——每取一球，世界就變了。

3.中等工廠 A、B 兩條產線各生產全部產品的 60% 與 40%，不良率分別為 2% 與 5%。隨機抽驗一件產品，它是不良品的機率為何？

測驗重點：全機率定理

  1. (A) 3.2%
  2. (B) 3.5%
  3. (C) 7%
  4. (D) 2%
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正確答案：(A) 3.2%

全機率定理（按產線分拆）：$P(\text{不良}) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032 = 3.2\%$。(B) 3.5% 是兩個不良率的簡單平均——忘了兩條產線的產量權重不同。全機率就是「加權平均」：各原因的機率 × 該原因下的條件機率，再全部加總。

4.進階承上題（A 線佔 60%、不良率 2%；B 線佔 40%、不良率 5%）。已知抽到的是不良品，它來自 B 產線的機率為何？

測驗重點：貝氏定理（篩檢情境）

  1. (A) $\dfrac{5}{8}$
  2. (B) $\dfrac{2}{5}$
  3. (C) $\dfrac{1}{2}$
  4. (D) $\dfrac{3}{8}$
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正確答案：(A) $\dfrac{5}{8}$

貝氏定理：$P(B|\text{不良}) = \dfrac{0.4 \times 0.05}{0.032} = \dfrac{0.020}{0.032} = \dfrac{5}{8}$。B 線產量較少（40%）但不良率高，所以不良品中過半來自 B——「由結果回推原因」時，先驗比例與條件機率共同決定答案。分母正是上一題的全機率 0.032：全機率與貝氏是同一棵樹狀圖的「正著走」與「倒著推」。