1.基礎從 10 位社員中選出 3 位組成代表隊（不分職務），共有幾種選法？
測驗重點：排列與組合的辨別
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正確答案：(A) 120
「不分職務」表示順序無關，用組合：$C^{10}_3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$。(B) 720 是誤用排列 $P^{10}_3$ 的結果——若選的是「隊長、副隊長、隊員」三個不同職務才用排列。「選出來的人有沒有角色差別」是排列 vs. 組合的判準。
內容概述
計數的兩大原理：分步用「乘法原理」、分類用「加法原理」。排列 $P^n_k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$ 講究順序；組合 $C^n_k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ 不管順序。「要不要排順序」是排列與組合的分水嶺，也是所有計數問題的第一個提問。
學習重點
- 1乘法原理：分步驟完成，方法數相乘；加法原理：分類討論，方法數相加
- 2排列（順序有關）：$P^n_k = n(n-1)\cdots(n-k+1)$；全排列 $n!$
- 3組合（順序無關）：$C^n_k = \dfrac{P^n_k}{k!}$；$C^n_k = C^n_{n-k}$
- 4相鄰問題「捆綁法」：先綁成一團再排；不相鄰問題「插空法」：先排其他再插空
- 5重複組合 $H^n_k = C^{n+k-1}_k$：相同物品分給不同人
大學學科能力測驗出題趨勢：學測計數題重「翻譯」不重公式：委員選派（組合）、排隊照相（排列＋捆綁／插空）、走捷徑格子路線（$C$ 的應用）。「至少一個」情境常用「全部 − 不合條件」反面計數，直接正面分類容易漏算。
108 課綱對應
- 課綱D-10-1 計數原理
- 課綱D-10-2 排列
- 課綱D-10-3 組合
進階探究・深度解析
為什麼組合要除以 $k!$？從 $n$ 人選 $k$ 人排隊有 $P^n_k$ 種，但若只問「選了誰」不問順序，每一組 $k$ 人被重複計了 $k!$ 次（他們內部的排列數），除掉即得 $C^n_k$。「先排列、再消去順序」的思路比死背公式更能應付變形題。
格子路線問題的本質：從 $(0,0)$ 走到 $(m,n)$ 只能向右或向上，路線數 $= C^{m+n}_{m}$——每條路線就是「在 $m+n$ 步中選哪 $m$ 步向右」的一個組合。把幾何路徑翻譯成組合選取，是計數問題「換個角度數」的經典示範。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一列照相，要求甲、乙必須相鄰，共有幾種排法？
測驗重點：相鄰問題（捆綁法）
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正確答案：(A) 48
捆綁法：把甲乙綁成一「團」，與丙丁戊共 4 個單位全排列 $4! = 24$；團內甲乙可互換 $2! = 2$。共 $24 \times 2 = 48$ 種。忘記乘團內排列（選 24）是最常見疏漏。若改為「甲乙不相鄰」，用全部 $5!=120$ 減相鄰 $48$ 得 $72$，或用插空法。
3.中等從街道圖左下角 $(0,0)$ 走到右上角 $(4,3)$，每步只能向右或向上，共有幾條最短路線？
測驗重點：格子路線
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正確答案：(A) 35
共需 $4+3 = 7$ 步，其中選 3 步向上（其餘自動向右）：$C^7_3 = 35$。把路線翻譯成「7 步中選哪 3 步向上」的組合，是計數問題「換個對象數」的經典。也可用巴斯卡三角形逐格累加驗證。
4.進階從 4 位男生、3 位女生中選出 3 人組成委員會，要求「至少一位女生」，共有幾種選法？
測驗重點：至少問題（反面計數）
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正確答案：(A) 31
反面計數：全部選法 $C^7_3 = 35$，減去「完全沒有女生」（全選男生）$C^4_3 = 4$，得 $35 - 4 = 31$。正面分類（恰 1 女＋恰 2 女＋恰 3 女）$= C^3_1C^4_2 + C^3_2C^4_1 + C^3_3 = 18+12+1 = 31$ ✓ 兩法一致。「至少」看到就先想反面，一步抵三步。