大學學科能力測驗 數學2・高一下學期 資料與不確定性

數據分析

標準差、資料標準化與相關係數

內容概述

標準差 $\sigma$ 衡量資料偏離平均數的程度，$\sigma$ 越小資料越集中。資料經線性變換 $y = ax + b$ 後：平均數變為 $a\bar{x}+b$，標準差變為 $|a|\sigma_x$。二維數據的相關係數 $r \in [-1, 1]$ 刻劃線性關聯強度，配合散布圖與最適直線（迴歸直線）進行預測。

學習重點

  1. 1標準差：$\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$；變異數 $=\sigma^2$
  2. 2線性變換：資料同加 $b$ ⟹ 平均 $+b$、標準差不變；同乘 $a$ ⟹ 平均 $\times a$、標準差 $\times |a|$
  3. 3標準化：$z = \dfrac{x - \bar{x}}{\sigma}$，變換後平均 0、標準差 1，可跨組比較
  4. 4相關係數 $-1 \le r \le 1$：$r>0$ 正相關、$r<0$ 負相關、$|r|$ 越接近 1 線性關聯越強
  5. 5相關 ≠ 因果；$r$ 只測「線性」關聯，曲線關係可能 $r \approx 0$

大學學科能力測驗出題趨勢：學測必考「線性變換後平均與標準差的變化」（全班加 5 分、成績乘 1.2）與散布圖配對相關係數的判讀。「相關不蘊含因果」（冰淇淋銷量與溺水人數正相關）是素養題的常青樹。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

為什麼加常數不改變標準差？全班每人加 5 分，整個分布「平移」但形狀不變——每筆資料與平均數的距離完全沒變。乘法則會「拉伸」分布：乘 2 之後所有距離都翻倍。用「平移不變形、縮放才變形」的圖像理解，公式就再也不會背錯。

標準化分數（z 分數）的威力：小明數學 80 分（全班平均 70、標準差 5）與英文 85 分（平均 80、標準差 10），哪科表現較突出？$z_{數} = 2 > z_{英} = 0.5$——數學贏。z 分數把不同單位、不同分布的成績放上同一把尺，這正是大考「頂標前標」與智力測驗計分的原理。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎某班段考平均 62 分、標準差 8 分。老師決定每人成績調整為「原成績乘 1.1 再加 3 分」，調整後的平均與標準差為何？

測驗重點：線性變換對平均與標準差的影響

  1. (A) 平均 71.2，標準差 8.8
  2. (B) 平均 71.2，標準差 11.8
  3. (C) 平均 68.2，標準差 8.8
  4. (D) 平均 71.2，標準差 8
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正確答案：(A) 平均 71.2，標準差 8.8

平均數跟著整個變換走：$62 \times 1.1 + 3 = 71.2$。標準差只受「乘法」影響：$8 \times 1.1 = 8.8$（加 3 是平移，不改變離散程度）。(B) 把 $+3$ 也作用到標準差、(D) 忘了乘 1.1，都是概念混淆。口訣：「平均全都變、標準差只怕乘」。

2.中等甲、乙兩位射手各射 10 箭，平均環數都是 8 環，但甲的標準差為 0.5、乙的標準差為 2.1。下列敘述何者最合理？

測驗重點：標準差的意義

  1. (A) 甲的表現較穩定
  2. (B) 乙的表現較穩定
  3. (C) 甲的總環數較高
  4. (D) 兩人表現完全相同
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正確答案：(A) 甲的表現較穩定

平均相同表示「實力水準」相當；標準差小表示每箭環數緊貼平均、起伏小——甲較穩定。(C) 錯：平均相同且箭數相同，總環數必相同。標準差回答的是「穩不穩」而非「強不強」，兩個維度必須分開評估——這正是教練選誰上場的統計依據。

3.中等下列關於相關係數 $r$ 的敘述，何者「正確」？

測驗重點：相關係數判讀

  1. (A) $r = -0.9$ 表示兩變量有很強的負向線性關聯
  2. (B) $r = 0$ 表示兩變量之間毫無任何關係
  3. (C) $r = 1.2$ 表示極強的正相關
  4. (D) $r > 0$ 表示一變量是另一變量的原因
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正確答案：(A) $r = -0.9$ 表示兩變量有很強的負向線性關聯

$|r|$ 接近 1 表示線性關聯強，$r=-0.9$ 是強負相關——正確。(B) 錯：$r=0$ 只表示「無線性關聯」，完美的拋物線關係也可能 $r=0$。(C) 錯：$r$ 的範圍是 $[-1, 1]$，1.2 不可能出現。(D) 錯：相關不蘊含因果——冰淇淋銷量與溺水人數正相關，真正的原因是「夏天」這個共同因素。四個選項恰好是 $r$ 的四大觀念檢查點。

4.進階小華數學考 78 分（全班平均 70、標準差 4），英文考 88 分（全班平均 82、標準差 6）。以標準化分數（z 分數）而言，哪一科的相對表現較佳？

測驗重點：標準化分數比較

  1. (A) 數學（$z=2$ 高於英文的 $z=1$）
  2. (B) 英文（因為 88 分較高）
  3. (C) 兩科相同
  4. (D) 無法比較
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正確答案：(A) 數學（$z=2$ 高於英文的 $z=1$）

$z_{數} = \dfrac{78-70}{4} = 2$；$z_{英} = \dfrac{88-82}{6} = 1$。數學高於平均 2 個標準差、英文只高 1 個，數學的「相對位置」更前面。原始分數 (B) 不能跨科比較——各科難度與分布不同。z 分數是「跨組比較」的通用貨幣，大考級分制度的底層邏輯正是如此。