大學學科能力測驗 數學2・高一下學期 數與式

指數與對數

指對數律、函數圖形與應用

內容概述

指數函數 $y=a^x$（$a>0, a\neq1$）：$a>1$ 遞增、$0<a<1$ 遞減，圖形恆過 $(0,1)$ 且恆正。對數是指數的逆運算：$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$。對數律「積化和、商化差、次方提前」把乘除運算降階為加減，是天文數字計算與 pH 值、地震規模、分貝等科學量尺的基礎。

學習重點

  1. 1指數律：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$、$(a^m)^n = a^{mn}$；$a^0=1$、$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
  2. 2對數律：$\log(MN)=\log M+\log N$、$\log\frac{M}{N}=\log M-\log N$、$\log M^k = k\log M$
  3. 3換底公式：$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
  4. 4$y=a^x$ 與 $y=\log_a x$ 圖形對稱於直線 $y=x$（互為反函數）
  5. 5首數與尾數：$\log N$ 的整數部分決定 $N$ 的位數（$\log N$ 首數 $n \Rightarrow N$ 有 $n+1$ 位）

大學學科能力測驗出題趨勢：學測每年必考對數律化簡與「$2^{100}$ 有幾位數」型的位數問題（給 $\log 2 = 0.3010$）。指對數函數圖形的比較（底數大小 vs. 圖形高低）、複利與指數成長情境題（細菌繁殖、藥物半衰期）是素養命題主力。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

$2^{100}$ 有幾位數？$\log 2^{100} = 100\log 2 = 30.10$，首數 30，故有 $31$ 位數。原理：$n$ 位數 $N$ 滿足 $10^{n-1} \le N < 10^n$，取對數得 $n-1 \le \log N < n$。對數把「數的大小」轉譯成「位數」，這正是對數被發明的初衷——把乘法變加法的計算革命。

地震規模每差 1，能量差約 31.6 倍（$10^{1.5}$）：芮氏規模是對數量尺，$M = \log\frac{A}{A_0}$。pH 值、分貝也是同族。對數量尺的價值在「把跨越十幾個數量級的現象壓縮到人類可讀的範圍」，學測素養題最愛拿這些真實情境包裝對數律。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎$\log_{10} 4 + \log_{10} 25$ 的值為何？

測驗重點：對數律化簡

  1. (A) 2
  2. (B) 1
  3. (C) 100
  4. (D) $\log_{10} 29$
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正確答案：(A) 2

積化和的逆用：$\log 4 + \log 25 = \log(4 \times 25) = \log 100 = 2$。(D) 是把對數的加法誤當成真數相加——$\log a + \log b \neq \log(a+b)$，這是對數律最常見的誤用。湊出 10 的冪次（$4 \times 25 = 100$）是此類題的設計原型。

2.中等解方程式 $4^x = 8^{x-1}$，則 $x$ 為何？

測驗重點：指數方程式

  1. (A) 3
  2. (B) 2
  3. (C) $\dfrac{3}{2}$
  4. (D) $-3$
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正確答案：(A) 3

化同底（底 2）：$4^x = 2^{2x}$，$8^{x-1} = 2^{3(x-1)}$。指數相等：$2x = 3x - 3 \Rightarrow x = 3$。「化同底、比指數」是指數方程式的第一招；化不了同底才動用取對數。檢驗：$4^3 = 64 = 8^2$ ✓。

3.中等已知 $\log_{10} 2 \approx 0.3010$，則 $2^{50}$ 是幾位數？

測驗重點：位數問題

  1. (A) 16 位數
  2. (B) 15 位數
  3. (C) 17 位數
  4. (D) 50 位數
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正確答案：(A) 16 位數

$\log 2^{50} = 50 \log 2 = 50 \times 0.3010 = 15.05$。首數為 15，故 $2^{50}$ 有 $15 + 1 = 16$ 位數。原理：$n$ 位數的常用對數介於 $n-1$ 與 $n$ 之間。「首數＋1＝位數」是學測固定考點，配套的「小數點後第幾位不為零」則用負首數判斷。

4.進階某細菌數量每小時變為原來的 2 倍。已知 $\log_{10} 2 \approx 0.301$，則細菌數量成長到超過原來 1000 倍，「最少」需要幾個完整小時？

測驗重點：指數成長情境

  1. (A) 10 小時
  2. (B) 9 小時
  3. (C) 30 小時
  4. (D) 100 小時
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正確答案：(A) 10 小時

設 $2^n > 1000$，取對數：$n \log 2 > 3$，$n > \dfrac{3}{0.301} \approx 9.97$。$n$ 為整數，最少 $10$ 小時。驗算：$2^{10} = 1024 > 1000$ ✓ 而 $2^9 = 512$ 不足。取對數把指數不等式降為一次不等式，最後「無條件進位取整數」是情境題的固定收尾——別選 (B) 9，$512$ 倍還不到 1000 倍。