斜率、直線方程式與圓的位置關係
斜率 $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 刻劃直線的傾斜程度；點斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$ 是寫直線方程式的萬用起手式。圓 $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ 與直線的位置關係由「圓心到直線的距離 $d$ 與半徑 $r$ 的比較」完全決定：$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 不相交。
大學學科能力測驗出題趨勢：學測必考「點到直線距離公式」串接圓的相切條件：給圓與動直線求相切時的參數。弦長公式 $2\sqrt{r^2-d^2}$、以及「圓上一點到某直線的最大／最小距離 $=d \pm r$」是計算題的高頻主角。
「圓上動點到直線最遠多遠？」的秒殺思路：最遠距離 $=$ 圓心到直線的距離 $+$ 半徑，最近 $= d - r$（若 $d>r$）。把「無窮多個點的最值問題」化約成「一個圓心的距離問題」，這種化約思維正是坐標幾何的精髓，學測幾乎年年變形出題。
垂直斜率乘積為 $-1$ 的證明：將直線繞交點旋轉 $90°$，方向向量 $(1, m)$ 變成 $(-m, 1)$，新斜率 $=-\frac{1}{m}$，乘積 $m \cdot (-\frac{1}{m}) = -1$。注意鉛直線（斜率不存在）與水平線互相垂直但公式失效——多選題常拿這個邊界情形設陷阱。
測驗重點：垂直直線的斜率
正確答案：(A) $y - 2 = -\dfrac{1}{3}(x - 1)$
垂直 ⟹ 斜率乘積 $=-1$，故 $L$ 的斜率 $= -\dfrac{1}{3}$。用點斜式：$y - 2 = -\dfrac{1}{3}(x-1)$。「垂直取負倒數」：正負變號＋分子分母顛倒，兩個動作缺一不可（(C) 只做了倒數沒變號）。(D) 把點坐標 $(1,2)$ 的順序用反了，點斜式是 $y-y_1 = m(x-x_1)$。
測驗重點：圓的一般式化標準式
正確答案：(A) 圓心 $(2, -3)$，半徑 5
配方：$(x^2-4x+4) + (y^2+6y+9) = 12+4+9 = 25$，即 $(x-2)^2+(y+3)^2 = 5^2$。圓心 $(2, -3)$、半徑 $5$。符號陷阱：$(y+3)^2$ 對應圓心 $y$ 坐標是 $-3$（括號內變號）；(C) 忘了開根號——$r^2=25$ 所以 $r=5$。
測驗重點：直線與圓的位置關係
正確答案：(A) 相交於兩點
圆心 $(1,2)$ 到直線的距離 $d = \dfrac{|3(1)+4(2)-1|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \dfrac{|10|}{5} = 2$。半徑 $r = 3$。因 $d = 2 < 3 = r$，直線穿入圓內，相交於兩點。「算 $d$、比 $r$」兩步驟決定一切；若進一步問弦長，用 $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5}$。
測驗重點：圓上動點到直線的最值
正確答案：(A) 7
圓心 $(3,4)$ 到直線距離 $d = \dfrac{|12+12+1|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{25}{5} = 5$，半徑 $r=2$。最大距離 $= d + r = 5+2 = 7$（最小 $= d - r = 3$）。化約思維：圓上無窮多點的最值問題 ⟹ 圓心一點的距離 $\pm$ 半徑。學測年年愛考，把這個模型記牢就是送分題。