大學學科能力測驗 數學4A・高二下學期 代數

矩陣

矩陣運算、反方陣與線性變換

內容概述

矩陣是數的矩形陣列，加法與係數積按位置操作，乘法則是「列乘行」——且一般不可交換（$AB \neq BA$）。二階方陣 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 的行列式 $\det A = ad - bc$ 非零時存在反方陣。矩陣可表示旋轉、鏡射、伸縮等線性變換，$|\det A|$ 是變換的面積放大率。

學習重點

  1. 1矩陣乘法「列乘行」：$(AB)_{ij} = $ A 的第 $i$ 列與 B 的第 $j$ 行之內積
  2. 2矩陣乘法一般不可交換：$AB \neq BA$；但滿足結合律 $(AB)C = A(BC)$
  3. 3二階反方陣：$A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$，需 $ad-bc \neq 0$
  4. 4旋轉矩陣：$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$
  5. 5$|\det A|$＝線性變換的面積放大率；$\det A = 0$ ⟹ 圖形被壓扁、不可逆

大學學科能力測驗出題趨勢：學測矩陣題聚焦：二階乘法計算、反方陣求解聯立、轉移矩陣（馬可夫鏈情境：市占率逐年變化）。「$AB \neq BA$」與「$AB = O$ 未必 $A=O$ 或 $B=O$」是觀念多選的固定陷阱。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

轉移矩陣的預測魔力：甲、乙兩品牌每年互搶客戶，把「保留率與流失率」寫成矩陣 $M$，明年市占 $= M \times$ 今年市占，$n$ 年後就是 $M^n$ 乘初始向量。Google PageRank 排序網頁的核心正是巨型轉移矩陣的極限行為——高中矩陣單元與現代科技的距離比想像近得多。

為何 $\det A = 0$ 就沒有反方陣？行列式是面積放大率：$\det A = 0$ 表示變換把整個平面壓扁成一條線（或一點），多個點被壓到同一位置，資訊遺失、無法還原——「不可逆」的幾何本質。這個圖像也解釋了為何 $\det(AB) = \det A \cdot \det B$：連續兩次縮放，倍率相乘。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎設 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，則 $AB$ 為何？

測驗重點：矩陣乘法

  1. (A) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$
  2. (B) $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
  3. (C) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$
  4. (D) $\begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$
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正確答案：(A) $\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$

列乘行：第 1 列第 1 行 $= 1\times2 + 2\times1 = 4$；第 1 列第 2 行 $= 1\times0 + 2\times1 = 2$；第 2 列第 1 行 $= 3\times2 + 4\times1 = 10$；第 2 列第 2 行 $= 3\times0 + 4\times1 = 4$。(C) 是「對應位置相乘」的錯誤算法——矩陣乘法不是逐格相乘，這是初學最大迷思。

2.中等矩陣 $A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ k & 4 \end{pmatrix}$ 沒有反方陣，則 $k$ 為何？

測驗重點：行列式與反方陣存在性

  1. (A) 2
  2. (B) 8
  3. (C) -2
  4. (D) $\dfrac{1}{2}$
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正確答案：(A) 2

反方陣不存在 ⟺ $\det A = 0$：$3 \times 4 - 6k = 0 \Rightarrow 12 = 6k \Rightarrow k = 2$。此時兩列成比例 $(3,6)$ 與 $(2,4)$——變換把平面壓扁成一直線，資訊遺失故不可逆。「行列式為零 ⟺ 不可逆 ⟺ 列（行）成比例」三位一體，任一個角度都能解題。

3.中等將點 $(1, 0)$ 繞原點逆時針旋轉 $90°$，所得的點為何？

測驗重點：旋轉矩陣

  1. (A) $(0, 1)$
  2. (B) $(0, -1)$
  3. (C) $(-1, 0)$
  4. (D) $(1, 1)$
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正確答案：(A) $(0, 1)$

旋轉矩陣 $R_{90°} = \begin{pmatrix} \cos90° & -\sin90° \\ \sin90° & \cos90° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$，作用在 $\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ 得 $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$。幾何直觀：$x$ 軸正向的點逆時針轉 $90°$ 就到 $y$ 軸正向——先用直觀預測、再用矩陣驗證，是學習線性變換的最佳雙軌。(B) 是「順時針」旋轉的結果。

4.進階甲、乙兩家飲料店競爭：每月甲的顧客有 80% 續留、20% 轉去乙；乙的顧客有 30% 轉來甲、70% 續留。本月甲、乙市占各為 50%，下個月甲的市占為何？

測驗重點：轉移矩陣情境

  1. (A) 55%
  2. (B) 50%
  3. (C) 40%
  4. (D) 65%
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正確答案：(A) 55%

下月甲 $=$ 甲留下的 $+$ 乙轉來的 $= 0.8 \times 50\% + 0.3 \times 50\% = 40\% + 15\% = 55\%$。矩陣形式：$\begin{pmatrix}0.8 & 0.3\\0.2 & 0.7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.5\\0.5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.55\\0.45\end{pmatrix}$。轉移矩陣每行（來源）的機率和為 1；長期迭代會收斂到穩定市占 $(60\%, 40\%)$——馬可夫鏈的穩態，正是學測情境題喜歡延伸的方向。