1.基礎不等式 $|x-3| < 5$ 的解為下列何者？
測驗重點：絕對值不等式的距離觀點
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正確答案：(A) $-2 < x < 8$
距離翻譯：「$x$ 與 3 的距離小於 5」，即 $3-5 < x < 3+5$，得 $-2 < x < 8$。代數解法：$-5 < x-3 < 5$ 再同加 3。距離觀點不僅快，在 $|x-a|+|x-b|$ 型的進階題中更是唯一直觀的解法。(D) 是 $|x-3|>5$ 的解，注意不等號方向。
內容概述
實數包含有理數與無理數，數線上每一點都對應一個實數。絕對值 $|x|$ 是 $x$ 到原點的距離，$|a-b|$ 則是 $a$、$b$ 兩點的距離——「距離觀點」是解絕對值不等式的鑰匙。根式的有理化、雙重根式化簡、算幾不等式 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ 是本章三大技術。
學習重點
- 1$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$；$|x| > a \Leftrightarrow x > a$ 或 $x < -a$
- 2$|a-b|$＝數線上 $a$ 與 $b$ 的距離；$|x-3|<2$ 讀作「與 3 距離小於 2」
- 3分母有理化：$\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b}$（乘共軛）
- 4算幾不等式：$a, b > 0$ 時 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$，等號在 $a=b$ 時成立
- 5有理數＝可寫成分數＝有限小數或循環小數；$\sqrt{2}, \pi$ 為無理數
大學學科能力測驗出題趨勢：學測愛考絕對值不等式的「距離翻譯」與算幾不等式求最值（和固定積最大、積固定和最小）。判斷「$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 是否有理數」這類實數性質是非題也常出現在多選題選項中。
108 課綱對應
- 課綱N-10-1 實數
- 課綱N-10-2 絕對值
- 課綱N-10-3 指數律的推廣
進階探究・深度解析
算幾不等式的幾何證明：半圓中直徑被分成 $a$、$b$ 兩段，半徑 $\frac{a+b}{2}$ 恆不小於從分點作的垂直弦長之半 $\sqrt{ab}$。「等號成立條件 $a=b$」是使用時最容易被忽略的檢查點——求最值時若等號取不到，答案就要另尋。
$\sqrt{2}$ 是無理數的反證法：假設 $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$（最簡分數），平方得 $p^2=2q^2$，則 $p$ 為偶數，設 $p=2k$ 代回得 $q$ 也是偶數，與最簡分數矛盾。這是高中第一個完整的反證法範例，學測素養題曾以此為背景。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等化簡 $\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ 的結果為何？
測驗重點：分母有理化
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正確答案：(A) $\sqrt{5}+\sqrt{3}$
分子分母同乘共軛 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$：$\dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2} = \dfrac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}+\sqrt{3}$。共軛相乘用平方差公式消去根號，是有理化的標準流程；分母是「差」就乘「和」，方向別搞反。
3.中等設 $x > 0$，則 $x + \dfrac{9}{x}$ 的最小值為何？
測驗重點：算幾不等式求最值
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正確答案：(A) 6
算幾不等式：$x + \dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$，等號在 $x = \dfrac{9}{x}$ 即 $x=3$ 時成立。「兩正數之積為定值時，和有最小值」是算幾不等式的招牌應用。務必檢查等號成立條件是否在定義域內——本題 $x=3>0$ 合法，故最小值確為 6。
4.進階下列敘述何者「正確」？
測驗重點：實數性質判斷
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正確答案：(A) 兩個無理數的和可能是有理數
反例思考：$\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ 是有理數，故 (A) 正確、(B) 錯誤。(C) 錯：若有理數 $q$ 加無理數 $\alpha$ 得有理數 $r$，則 $\alpha = r-q$ 為有理數，矛盾——「有理＋無理必為無理」可嚴格證明。(D) 錯：$(\sqrt{2})^2 = 2$ 是有理數。實數性質題的攻略：想證「可能」找一個例子，想證「一定」需要推理、想推翻則找反例。