大學學科能力測驗 數學3A・高二上學期 坐標幾何

平面向量

向量運算、內積與應用

內容概述

向量是「有大小、有方向」的量，坐標表示 $\vec{a} = (a_1, a_2)$ 後，加減與係數積都化為分量計算。內積 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2$ 一手連結長度與夾角：內積為 0 即垂直。分點公式與共線條件讓幾何證明化為代數計算。

學習重點

  1. 1內積兩算法：$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2$
  2. 2垂直 $\Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$；平行 $\Leftrightarrow \vec{b} = t\vec{a}$（分量成比例）
  3. 3向量長度：$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$；$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
  4. 4分點公式：$P$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $AP:PB = m:n$，則 $\vec{OP} = \dfrac{n\vec{OA} + m\vec{OB}}{m+n}$
  5. 5正射影（投影）：$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的正射影長 $= \dfrac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$

大學學科能力測驗出題趨勢：學測向量題核心是內積：求夾角、判垂直、求正射影。分點公式常包裝成「重心、中點連線」的幾何題。柯西不等式 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}||\vec{b}|$ 在最值題中偶爾登場，是高分群的分辨題。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

內積的物理起源是「作功」：$W = F \cdot d \cos\theta$，只有力在位移方向的分量作功。內積為 0 表示力與位移垂直、完全不作功（如圓周運動的向心力）。從物理圖像理解內積，「垂直⟺內積 0」就是自然而然的事。

分點公式的「交叉」記憶陷阱：$AP:PB = m:n$ 時，公式中 $\vec{OA}$ 配的是 $n$（遠端比例）、$\vec{OB}$ 配 $m$——比例與端點「交叉配對」。驗證法：$m=n$（中點）時公式退化為 $\frac{\vec{OA}+\vec{OB}}{2}$，用中點特例檢查公式方向永不出錯。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎設 $\vec{a} = (3, -1)$，$\vec{b} = (2, 4)$，則 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 為何？

測驗重點：內積的坐標計算

  1. (A) 2
  2. (B) 10
  3. (C) $(6, -4)$
  4. (D) 14
查看答案與詳解

正確答案：(A) 2

坐標內積：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + (-1) \times 4 = 6 - 4 = 2$。內積的結果是「一個數」，不是向量——(C) 把對應分量相乘卻沒相加，結果的型態就錯了。內積接近 0 也透露兩向量接近垂直的幾何訊息。

2.中等設 $\vec{a} = (2, 3)$ 與 $\vec{b} = (k, -4)$ 互相垂直，則 $k$ 為何？

測驗重點：垂直條件求參數

  1. (A) 6
  2. (B) -6
  3. (C) $\dfrac{8}{3}$
  4. (D) 12
查看答案與詳解

正確答案：(A) 6

垂直 ⟺ 內積為 0：$2k + 3 \times (-4) = 0 \Rightarrow 2k = 12 \Rightarrow k = 6$。「垂直翻譯成內積 0」是向量最重要的翻譯規則。若題目改為「平行」，則翻譯成分量成比例 $\dfrac{k}{2} = \dfrac{-4}{3}$，得 $k = -\dfrac{8}{3}$——兩種條件的翻譯務必分清。

3.中等設 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$，$\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$，則 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$ 的夾角為何？

測驗重點：向量夾角

  1. (A) $30°$
  2. (B) $60°$
  3. (C) $45°$
  4. (D) $90°$
查看答案與詳解

正確答案：(A) $30°$

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2 \times 2} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\theta = 30°$。夾角公式是內積兩種算法（坐標式與長度夾角式）聯立的直接結果。幾何直觀：$\vec{a}$ 與 $x$ 軸夾 $60°$、$\vec{b}$ 夾 $30°$，相差恰為 $30°$ ✓。

4.進階設 $A(1, 2)$、$B(7, 8)$，點 $P$ 在線段 $\overline{AB}$ 上且 $\overline{AP}:\overline{PB} = 2:1$，則 $P$ 的坐標為何？

測驗重點：分點公式

  1. (A) $(5, 6)$
  2. (B) $(3, 4)$
  3. (C) $(4, 5)$
  4. (D) $(6, 7)$
查看答案與詳解

正確答案：(A) $(5, 6)$

分點公式（交叉配對）：$P = \dfrac{1 \cdot A + 2 \cdot B}{2+1} = \dfrac{(1,2) + (14,16)}{3} = \dfrac{(15, 18)}{3} = (5, 6)$。$AP:PB = 2:1$ 表示 $P$ 靠近 $B$——檢查 $(5,6)$ 確實離 $B(7,8)$ 較近 ✓。(B) $(3,4)$ 是比例配反的結果（那是 $AP:PB = 1:2$ 的答案），用「靠近哪端」做最後檢查可避開此陷阱。