大學學科能力測驗 數學1・高一上學期 數與式

多項式函數

除法原理、餘式定理與函數圖形

內容概述

多項式除法原理：$f(x) = g(x)q(x) + r(x)$，其中 $\deg r < \deg g$。餘式定理：$f(x)$ 除以 $(x-a)$ 的餘式就是 $f(a)$；因式定理：$f(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)$ 是 $f(x)$ 的因式。三次函數圖形有「遞增—遞減—遞增」的山谷形或單調形，並具點對稱性。

學習重點

  1. 1除法原理：$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$，$\deg r < \deg g$（除以二次式餘式設 $ax+b$）
  2. 2餘式定理：$f(x) \div (x-a)$ 的餘式 $= f(a)$；除以 $(ax-b)$ 餘式 $= f(\frac{b}{a})$
  3. 3因式定理：$(x-a) \mid f(x) \Leftrightarrow f(a)=0$；整係數多項式的有理根檢驗
  4. 4插值多項式：已知 $n+1$ 個點可唯一決定 $n$ 次多項式
  5. 5三次函數圖形對稱於其「對稱中心（反曲點）」；奇次函數兩端走向相反

大學學科能力測驗出題趨勢：學測固定考「除以二次式求餘式」：餘式設 $ax+b$，代入兩個根建立聯立。三次函數圖形與係數正負的配對（領導係數決定右端走向）、因式定理搭配虛擬長除法也是多選題常客。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

為何除以 $(x-1)(x-2)$ 的餘式要設 $ax+b$？因為餘式次數必須「小於除式次數 2」。解法：$f(1)=a+b$、$f(2)=2a+b$，兩式聯立。若 $f(x)$ 除以 $(x-1)^2$ 這種重根除式，就不能只代 $x=1$ 一次——需要搭配微分或比較係數，這是學測與分科的分水嶺技巧。

三次方程式必有實根的直觀理由：$x \to +\infty$ 時 $f(x) \to +\infty$、$x \to -\infty$ 時 $f(x) \to -\infty$（設領導係數為正），圖形連續必穿過 $x$ 軸——這是「勘根定理（中間值定理）」的應用，學測愛考「$f(1)f(2)<0$ 則 1 與 2 之間有根」的判讀。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎多項式 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ 除以 $(x-2)$ 的餘式為何？

測驗重點：餘式定理

  1. (A) 1
  2. (B) -5
  3. (C) 5
  4. (D) -1
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正確答案：(A) 1

餘式定理：餘式 $= f(2) = 8 - 8 + 6 - 5 = 1$。不必真的做長除法——除以一次式 $(x-a)$ 時，把 $a$ 代入即得餘式，這是餘式定理的威力。若除式是 $(2x-1)$，則代 $x=\dfrac{1}{2}$，注意「令除式為 0」求代入值。

2.中等已知 $(x-1)$ 是 $f(x) = 2x^3 + ax^2 - 5x + 6$ 的因式，則 $a$ 為何？

測驗重點：因式定理

  1. (A) -3
  2. (B) 3
  3. (C) -2
  4. (D) 1
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正確答案：(A) -3

因式定理：$(x-1)$ 是因式 $\Leftrightarrow f(1) = 0$。代入：$2 + a - 5 + 6 = 0 \Rightarrow a + 3 = 0 \Rightarrow a = -3$。「是因式」與「整除」與「$f(a)=0$」三者等價，看到任一種敘述都轉成代入求值，是最省時的翻譯。

3.中等已知 $f(1) = 3$，$f(2) = 5$，則 $f(x)$ 除以 $(x-1)(x-2)$ 的餘式為何？

測驗重點：除以二次式求餘式

  1. (A) $2x + 1$
  2. (B) $x + 2$
  3. (C) $2x - 1$
  4. (D) $3x$
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正確答案：(A) $2x + 1$

除以二次式，餘式設 $r(x) = ax + b$。由 $f(x) = (x-1)(x-2)q(x) + ax + b$，代 $x=1$：$a+b=3$；代 $x=2$：$2a+b=5$。相減得 $a=2$、$b=1$，餘式 $2x+1$。「餘式次數 < 除式次數」決定餘式的形狀，代根消去商式項是本題型的固定套路，學測幾乎每年出現。

4.進階設 $f(x) = x^3 - 3x + 1$。已知 $f(0) = 1 > 0$、$f(1) = -1 < 0$、$f(2) = 3 > 0$，下列敘述何者正確？

測驗重點：勘根定理

  1. (A) $f(x) = 0$ 在 0 與 1 之間、1 與 2 之間各至少有一實根
  2. (B) $f(x) = 0$ 恰有一個實根
  3. (C) $f(x) = 0$ 在 0 與 2 之間沒有實根
  4. (D) $f(0) > 0$ 表示 $f(x) = 0$ 沒有負根
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正確答案：(A) $f(x) = 0$ 在 0 與 1 之間、1 與 2 之間各至少有一實根

勘根定理（中間值定理）：多項式函數連續，若 $f(a)f(b) < 0$，則 $a, b$ 之間至少有一實根。$f(0)f(1) < 0$ ⟹ $(0,1)$ 有根；$f(1)f(2) < 0$ ⟹ $(1,2)$ 有根。(B) 錯：三次函數配合兩次變號至少有兩個相異實根（實際上本函數有三個）。(D) 錯：$f(-2) = -1 < 0$ 而 $f(0) > 0$，負區間也有根。勘根定理只保證「存在」，不保證「唯一」，是判讀時的關鍵分寸。