大學學科能力測驗 數學2・高一下學期 資料與不確定性

機率

古典機率、獨立事件與期望值

內容概述

古典機率建立在計數之上：$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(S)}$。取捨定理 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ 處理「或」；獨立事件滿足 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。期望值 $E = \sum x_i p_i$ 是「長期平均報酬」，是彩券、保險與投資決策的數學基石。

學習重點

  1. 1取捨原理：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$；互斥時 $P(A \cap B)=0$
  2. 2餘事件：$P(A') = 1 - P(A)$；「至少」問題優先考慮反面
  3. 3獨立事件：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$；獨立 ≠ 互斥
  4. 4期望值：$E = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_np_n$（加權平均）
  5. 5重複試驗：$n$ 次獨立試驗中恰成功 $k$ 次的機率 $= C^n_k p^k (1-p)^{n-k}$

大學學科能力測驗出題趨勢：學測機率題常與排列組合聯手：抽球、抽卡分堆算機率。期望值題型固定出現在「彩券划不划算」「遊戲公平嗎」的素養情境。「獨立」與「互斥」的概念辨析是多選題陷阱區——互斥的兩事件（機率皆非零）必不獨立。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

獨立與互斥為何水火不容？互斥表示 $A$ 發生則 $B$ 必不發生——$A$ 的資訊完全改變了 $B$ 的機率（降為 0），這正是最強烈的「不獨立」。獨立的本意是「一事件的發生不影響另一事件的機率」。兩概念一個管「能否同時發生」、一個管「資訊有無影響」，層次完全不同。

保險的期望值視角：保費 1000 元、理賠 50 萬、出險率 0.1%，保險公司每張保單期望獲利 $1000 - 500000 \times 0.001 = 500$ 元。對個人而言期望值為負，買保險買的是「規避毀滅性風險」而非期望報酬——期望值理論的適用界線本身就是學測素養題的好素材。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎已知 $P(A) = 0.5$，$P(B) = 0.4$，$P(A \cap B) = 0.2$，則 $P(A \cup B)$ 為何？

測驗重點：取捨原理

  1. (A) 0.7
  2. (B) 0.9
  3. (C) 0.6
  4. (D) 0.1
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正確答案：(A) 0.7

取捨原理：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$。直接相加 (B) 0.9 會把交集重複計算一次，必須扣回。文氏圖是此類題最好的檢查工具：兩圓重疊部分只能算一次。

2.中等射手甲命中目標的機率為 $\dfrac{3}{4}$，射手乙為 $\dfrac{2}{3}$，兩人各射一發（互不影響），則「至少一人命中」的機率為何？

測驗重點：獨立事件

  1. (A) $\dfrac{11}{12}$
  2. (B) $\dfrac{1}{2}$
  3. (C) $\dfrac{17}{12}$
  4. (D) $\dfrac{1}{12}$
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正確答案：(A) $\dfrac{11}{12}$

反面：「兩人都沒中」$= \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}$（獨立事件機率相乘），所求 $= 1 - \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{12}$。(C) 是直接相加 $\frac{3}{4}+\frac{2}{3}$ 的錯——機率超過 1 就一定算錯了！「至少」＋「獨立」＝餘事件相乘，是機率題最高頻的組合技。

3.中等一張彩券售價 50 元，中頭獎 10000 元的機率為 $\dfrac{1}{1000}$，中小獎 100 元的機率為 $\dfrac{1}{10}$，其餘沒中獎。買一張彩券的獎金期望值為多少元？

測驗重點：期望值

  1. (A) 20
  2. (B) 50
  3. (C) 10100
  4. (D) 30
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正確答案：(A) 20

$E = 10000 \times \dfrac{1}{1000} + 100 \times \dfrac{1}{10} + 0 = 10 + 10 = 20$ 元。期望獎金 20 元 < 售價 50 元，長期買必虧（每張平均虧 30 元）——這是所有彩券的共同宿命。期望值＝各結果 × 機率的總和，注意「沒中獎」的 0 元也是一個結果，只是不影響總和。

4.進階投籃命中率為 $\dfrac{1}{2}$ 的球員獨立投籃 4 次，恰好命中 2 次的機率為何？

測驗重點：重複試驗

  1. (A) $\dfrac{3}{8}$
  2. (B) $\dfrac{1}{4}$
  3. (C) $\dfrac{1}{2}$
  4. (D) $\dfrac{1}{16}$
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正確答案：(A) $\dfrac{3}{8}$

二項機率：$C^4_2 \left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 6 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{8}$。關鍵是乘上 $C^4_2 = 6$：「哪 2 次命中」有 6 種位置組合，每種的機率都是 $\frac{1}{16}$。漏掉組合數只算 $\frac{1}{16}$ 是最典型的失分。注意「恰 2 次」機率不是 $\frac{1}{2}$——直覺在機率中經常失靈。