大學學科能力測驗 數學2・高一下學期 數與式

數列與級數

等比數列、遞迴與 Σ 求和

內容概述

等比數列每項與前項的比固定（公比 $r$），$a_n = a_1 r^{n-1}$；等比級數和 $S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$（$r \neq 1$），無窮等比級數在 $|r|<1$ 時收斂到 $\dfrac{a_1}{1-r}$。遞迴數列由「初始值＋遞推關係」定義，是描述動態過程（貸款、藥物濃度）的自然語言。

學習重點

  1. 1等比第 $n$ 項：$a_n = a_1 r^{n-1}$；等比中項 $b^2 = ac$
  2. 2等比級數和：$S_n = \dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$；無窮等比 $|r|<1$ 時 $S = \dfrac{a_1}{1-r}$
  3. 3$\Sigma$ 符號運算：$\sum (a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$；$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
  4. 4遞迴數列 $a_{n+1} = ra_n + d$ 型：可化為等比求一般項
  5. 5複利本利和 $= 本金 \times (1+利率)^{期數}$，是等比數列的金融化身

大學學科能力測驗出題趨勢：學測愛考「情境遞迴」：每月存款＋利息、湖水污染逐年稀釋、藥物殘留量——列出 $a_{n+1} = ra_n + d$ 是關鍵第一步。無窮等比級數的收斂條件 $|r|<1$（含等號判斷）是多選題的常設選項。

108 課綱對應

進階探究・深度解析

西洋棋盤麥粒問題：第 1 格放 1 粒、每格加倍，64 格總共 $2^{64}-1 \approx 1.8 \times 10^{19}$ 粒——超過全球數千年產量。等比成長的爆炸性遠超直覺，這正是複利「時間的魔法」與病毒傳播模型的數學核心，學測素養題的最愛。

$0.\overline{9} = 1$ 的嚴格證明：$0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots$ 是首項 $\frac{9}{10}$、公比 $\frac{1}{10}$ 的無窮等比級數，和 $= \frac{9/10}{1-1/10} = 1$。「無窮和是極限值而非過程」的觀念衝擊，是從有限走向無限的重要一步。

章節試題（4 題・附詳解）

1.基礎等比數列的首項為 3、公比為 2，則第 8 項為何？

測驗重點：等比數列一般項

  1. (A) 384
  2. (B) 768
  3. (C) 48
  4. (D) 24
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正確答案：(A) 384

$a_8 = a_1 r^{7} = 3 \times 2^7 = 3 \times 128 = 384$。與等差相同的注意點：第 $n$ 項只乘了 $n-1$ 次公比。(B) 768 是誤算 $3 \times 2^8$ 的結果。等比數列的暴增速度（第 8 項已是首項的 128 倍）正是指數成長的縮影。

2.中等無窮等比級數 $6 + 2 + \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \cdots$ 的和為何？

測驗重點：無窮等比級數

  1. (A) 9
  2. (B) 8
  3. (C) 12
  4. (D) 不存在（發散）
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正確答案：(A) 9

首項 $a_1 = 6$，公比 $r = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$。因 $|r| = \dfrac{1}{3} < 1$ 收斂，和 $S = \dfrac{a_1}{1-r} = \dfrac{6}{1-\frac{1}{3}} = \dfrac{6}{\frac{2}{3}} = 9$。使用公式前務必先檢查 $|r|<1$——這個收斂條件本身就是多選題常設的判斷選項。

3.中等$\displaystyle\sum_{k=1}^{10} (2k + 3)$ 的值為何？

測驗重點：Σ 符號運算

  1. (A) 140
  2. (B) 110
  3. (C) 130
  4. (D) 23
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正確答案：(A) 140

拆開：$\sum 2k + \sum 3 = 2 \times \dfrac{10 \times 11}{2} + 3 \times 10 = 110 + 30 = 140$。$\Sigma$ 的線性性質（提出常數、拆項）搭配 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ 是求和的基本功。常見錯誤：常數 3 要「加 10 次」得 30，不是只加一次。

4.進階小美每月初存入 1000 元，月利率 1%（月底計息，本利滾入）。設第 $n$ 個月底帳戶餘額為 $a_n$，則遞迴關係式為何？

測驗重點：遞迴數列情境

  1. (A) $a_{n+1} = 1.01(a_n + 1000)$
  2. (B) $a_{n+1} = 1.01a_n + 1000$
  3. (C) $a_{n+1} = a_n + 1000 \times 1.01$
  4. (D) $a_{n+1} = 1.01a_n$
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正確答案：(A) $a_{n+1} = 1.01(a_n + 1000)$

時序拆解：第 $n+1$ 月「月初」先存 1000（餘額變 $a_n + 1000$），「月底」再計息乘 $1.01$，故 $a_{n+1} = 1.01(a_n + 1000)$。(B) 是「月底先計息、才存款」的情形——存款時點不同，遞迴式就不同。列遞迴的心法：按時間順序把每個動作依序作用上去，學測零存整付題的成敗全在這一步。