1.基礎空間中兩點 $A(1, 2, 3)$ 與 $B(3, 6, 7)$ 的距離為何？
測驗重點：空間兩點距離
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正確答案：(A) 6
$\overline{AB} = \sqrt{(3-1)^2 + (6-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{4+16+16} = \sqrt{36} = 6$。空間距離就是畢氏定理的三維推廣：三個分量差的平方和開根號。$\sqrt{24}$ 是漏算一個分量的結果，三個分量逐一檢查是基本紀律。
內容概述
空間坐標系以三條互相垂直的軸描述立體世界，向量運算全面升級為三分量。外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ 產生同時垂直於兩向量的新向量，其長度等於兩向量張出的平行四邊形面積。平面方程式 $ax+by+cz=d$ 中 $(a,b,c)$ 是法向量——「用垂直方向描述平面」是空間幾何的核心洞察。
學習重點
- 1空間兩點距離：$\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$
- 2內積判垂直照舊：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$
- 3外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ 同時垂直 $\vec{a}$ 與 $\vec{b}$；$|\vec{a} \times \vec{b}|$＝平行四邊形面積
- 4平面 $ax+by+cz=d$ 的法向量 $\vec{n}=(a,b,c)$；點到平面距離 $= \dfrac{|ax_0+by_0+cz_0-d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
- 5兩平面夾角＝法向量夾角（或其補角）；平面平行 ⟺ 法向量平行
大學學科能力測驗出題趨勢：學測空間題以「求平面方程式」與「點到平面距離」為主軸：給三點求平面（外積求法向量）、給球心求切平面。外積的計算（行列式展開）務求熟練，符號錯一個全盤皆輸。
108 課綱對應
- 課綱G-11A-4 空間向量
- 課綱G-11A-5 外積
- 課綱G-11A-6 平面方程式
進階探究・深度解析
為什麼法向量能唯一決定平面方向？平面內任意向量都與法向量垂直，「垂直於 $\vec{n}$」這一個條件就鎖定了整個平面的傾斜姿態。平面方程式 $ax+by+cz=d$ 其實就是 $\vec{n} \cdot \vec{OP} = d$ 的展開——一條內積等式描述一整個平面，是線性代數觀點的第一次亮相。
外積方向的右手定則：右手四指從 $\vec{a}$ 掃向 $\vec{b}$，拇指指向 $\vec{a} \times \vec{b}$。因此 $\vec{b} \times \vec{a} = -\vec{a} \times \vec{b}$（反交換律）——外積沒有交換律！這與內積（可交換）形成鮮明對比，是計算時最容易疏忽的性質。
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等點 $P(1, 2, 3)$ 到平面 $2x - y + 2z = 3$ 的距離為何？
測驗重點：點到平面的距離
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正確答案：(A) 1
$d = \dfrac{|2(1) - 2 + 2(3) - 3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \dfrac{|3|}{\sqrt{9}} = \dfrac{3}{3} = 1$。公式與平面版「點到直線距離」完全同構：分子是代入點後的絕對值、分母是法向量長度。注意平面方程式要先整理成 $ax+by+cz-d=0$ 的形式再代，常數項符號錯誤是最常見失分。
3.中等設 $\vec{a} = (1, 0, 2)$，$\vec{b} = (0, 1, 1)$，則 $\vec{a} \times \vec{b}$ 為何？
測驗重點：外積求法向量
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正確答案：(A) $(-2, -1, 1)$
行列式展開：$\vec{a} \times \vec{b} = (0 \cdot 1 - 2 \cdot 1,\ 2 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-2, -1, 1)$。驗證（外積必垂直原兩向量）：$(-2,-1,1)\cdot(1,0,2) = -2+0+2 = 0$ ✓、$(-2,-1,1)\cdot(0,1,1) = 0-1+1 = 0$ ✓。「算完必驗內積」是外積計算的保命習慣，中間分量的負號是最大陷阱區。
4.進階通過點 $(1, 1, 1)$ 且以 $\vec{n} = (2, -3, 1)$ 為法向量的平面方程式為何？
測驗重點：求平面方程式
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正確答案：(A) $2x - 3y + z = 0$
平面方程式 $2x - 3y + z = d$，代入過點 $(1,1,1)$：$d = 2 - 3 + 1 = 0$，得 $2x - 3y + z = 0$。流程固定兩步：「法向量給係數、代點求常數」。$d=0$ 表示此平面恰好通過原點——別因為右邊是 0 就懷疑答案，代回檢驗即可安心。