1.中等△ABC中,A=45°,B=60°,a=8,求邊長b (取到小數點後一位)。
測驗重點：仿110年學測第14題風格: 正弦定理基本應用
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正確答案：(A) 9.8
正弦定理: a/sinA = b/sinB,8/sin45° = b/sin60°,b = 8×sin60°/sin45° ≈ 8×0.866/0.707 ≈ 9.8。
仿110年學測第14題風格: 正弦定理基本應用
內容概述
正弦定理與餘弦定理是三角函數單元的終極應用,常結合「測量無法直接到達的高度或距離」情境(如測山高、河寬)。3D情境模型能呈現觀測者、目標物與仰角/方位角的立體關係,比純平面圖更貼近實際測量情境。
學習重點
- 1正弦定理: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
- 2餘弦定理: c² = a²+b²-2ab·cosC
- 3三角形面積公式: (1/2)ab·sinC
- 4仰角、俯角、方位角的定義
- 5空間中的測量應用 (雙測站定位)
大學學科能力測驗出題趨勢：學測必考「無法直接測量」情境題,常需先用正弦定理或餘弦定理求出邊長,再計算面積或另一段距離,是三角函數單元中計算量最大的題型。
108 課綱對應
- 課綱S-2-03 三角函數
互動探索模型（3D）
拖曳滑桿與圖形，觀察數學關係如何變化
互動模型載入中……
章節試題（4 題・附詳解）
2.中等△ABC中,a=7, b=5, C=60°,求邊長c。
測驗重點：仿112年學測第16題風格: 餘弦定理求第三邊
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正確答案：(A) √39
餘弦定理: c²=a²+b²-2ab·cosC = 49+25-2×7×5×0.5 = 74-35 = 39,故c=√39。
仿112年學測第16題風格: 餘弦定理求第三邊
3.進階小華在河岸A點測得對岸塔頂B的仰角為30°,沿河岸前進100公尺到C點,測得塔頂仰角為45°(A、C、塔底共線),求塔的高度(取到整數)。
測驗重點：仿109年學測第20題風格: 三角測量應用, 雙站定位求高度(壓軸題)
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正確答案：(A) 136
設塔高為h,塔底為D。由兩仰角關係得 h/tan30° - h/tan45° = 100,即 h(√3-1) = 100,h = 100/(√3-1) ≈ 136公尺。此為雙測站測量高度經典題型。
仿109年學測第20題風格: 三角測量應用, 雙站定位求高度(壓軸題)
4.進階在平地上有一座高塔，塔底為點D。小明在點A測得塔頂的仰角為22°；他沿直線朝塔走了140公尺到點C，再測得塔頂的仰角為37°。已知A、C、D三點共線且地面平坦，試求塔的高度（取整數）。
測驗重點：仿109年學測第20題風格: 三角測量應用, 雙站定位求高度(壓軸題)
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正確答案：(B) 122
設塔高為 h，塔底為 D，且 A、C、D 共線，C 比 A 更靠近塔。由定義：在 A 點仰角為 22°，在 C 點仰角為 37°，因此 AD 與 CD 與 h 的關係為 h = AD·tan22° 與 h = CD·tan37°。另一方面，AD 與 CD 的差等於 AC 的距離 140 m，即 AD - CD = 140。將 AD = h / tan22°，CD = h / tan37° 代入，得到 h / tan22° - h / tan37° = 140。 整理得 h( cot22° - cot37° ) = 140，故 h = 140 / (cot22° - cot37°). 代入數值（以角度計算）： tan22° ≈ 0.4040262258，故 cot22° = 1 / tan22° ≈ 2.475086902; tan37° ≈ 0.7535540501，故 cot37° = 1 / tan37° ≈ 1.327043951. 兩者相減：cot22° - cot37° ≈ 2.475086902 - 1.327043951 = 1.148042951. 因此 h ≈ 140 / 1.148042951 ≈ 121.904… m。 取整數後為 122 公尺。 （答）122 m。
仿109年學測第20題風格: 三角測量應用, 雙站定位求高度(壓軸題)