大學學科能力測驗 數學3A・高二上學期 振幅、週期、相位的圖形變化

三角函數的圖形與性質

振幅、週期、相位的圖形變化

內容概述

延續單位圓概念,將角度展開成 x 軸即得到正弦、餘弦函數圖形。透過滑桿即時調整振幅 A、週期 (透過角頻率 B)、相位移 C、垂直位移 D,觀察 y = A·sin(Bx+C)+D 的圖形如何隨參數變化,建立函數圖形與代數式的直接對應。

學習重點

  1. 1y = A sin(Bx+C)+D 各參數對圖形的影響
  2. 2週期 T = 2π/B
  3. 3振幅 = |A|
  4. 4圖形的最大值/最小值 = D±A
  5. 5圖形平移與週期性應用問題

大學學科能力測驗出題趨勢：學測常考給圖形反推函數式,或給函數式判斷圖形,務必熟悉振幅、週期、相位、垂直位移四個參數各自的視覺效果。

108 課綱對應

互動探索模型（2D）

拖曳滑桿與圖形，觀察數學關係如何變化

互動模型載入中……

章節試題（3 題・附詳解）

1.進階某地一天中的水位高度 h(t) = 2sin(π/6·t) + 5 (t為小時,0≤t≤24),求水位最高點發生在何時,及最高水位為何?

測驗重點：仿108年學測第17題風格: 三角函數應用於週期性生活情境(潮汐)

  1. (A) t=3, h=7
  2. (B) t=6, h=7
  3. (C) t=3, h=5
  4. (D) t=12, h=7
查看答案與詳解

正確答案：(A) t=3, h=7

最高水位發生在 sin=1 時,即 π/6·t=π/2, 解得t=3;此時 h=2×1+5=7。

仿108年學測第17題風格: 三角函數應用於週期性生活情境(潮汐)

2.中等若函數 y = sin(x) 的圖形向左平移 π/2,可得到下列哪一個函數?

測驗重點：仿109年學測第11題風格: 三角函數圖形平移與函數式轉換

  1. (A) y=cos(x)
  2. (B) y=-cos(x)
  3. (C) y=-sin(x)
  4. (D) y=sin(x)+π/2
查看答案與詳解

正確答案：(A) y=cos(x)

sin(x+π/2) = cos(x),即向左平移π/2等同於轉換為餘弦函數。

仿109年學測第11題風格: 三角函數圖形平移與函數式轉換

3.基礎函數 y = 3sin(2x) 的振幅與週期分別為何?

測驗重點：仿111年學測第7題風格: 由函數式判斷振幅與週期

  1. (A) 振幅3,週期π
  2. (B) 振幅2,週期π
  3. (C) 振幅3,週期2π
  4. (D) 振幅2,週期2π
查看答案與詳解

正確答案：(A) 振幅3,週期π

對y=Asin(Bx): 振幅=|A|=3, 週期T=2π/B=2π/2=π。

仿111年學測第7題風格: 由函數式判斷振幅與週期